KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4049. (December 2007)

B. 4049. a, b, c are positive real numbers, and ab+bc+ca=\frac{1}{3}. Prove that


\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ca+1}+\frac{c}{c^2-ab+1}\ge\frac{1}{a+b+c}.

(5 pont)

Deadline expired on 15 January 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A nevezőkben 1 helyére a 3t=3(ab+bc+ca) kifejezést beírva, az u=a(a+b+c), v=b(a+b+c), z=c(a+b+c) jelölésekkel a bizonyítandó egyenlőtleséget átírhatjuk

\frac{u}{u+2t}+\frac{v}{v+2t}+\frac{z}{z+2t}\ge 1

alakba, amit felszorzás és rendezés után

uvz+t(uv+uz+vz)\ge4t3

alakra hozhatunk. Az eredeti változókat visszaírva az

(a+b+c)^2\bigl((a+b+c)abc+(ab+bc+ca)^2\bigr)\ge 4(ab+bc+ca)^3,

vagy egyszerűbb formában az

(a2+b2+c2)(ab+bc+ca)2+(a+b+c)3abc\ge2(ab+bc+ca)3

egyenlőtlenséget kell igazolnunk. A műveletek elvégzése után ezt

S(a4,b2)+3S(a4,b,c)\ge2S(a3,b3)+S(a3,b2,c)+3a2b2c2

alakra hozhatjuk, ahol

S(a4b2)=a2b2+a2b4+a4c2+a2c4+b4c2+b2c4,

S(a4,b,c)=a4bc+ab4c+abc4,  S(a3,b3)=a3b3+a3c3+b3c3

és

S(a3,b2,c)=a3b2c+a3bc2+a2b3c+a2bc3+ab3c2+ab2c3.

Mivel tetszőleges x,y pozitív számokra x2+y2\ge2xy miatt x4y2+x2y4\gex3y3, könnyűszerrel kapjuk, hogy S(a4b2)\ge2S(a3,b3), ahol egyenlőség csak a=b=c esetén lehetséges. Az S(a4,b,c)\ge3a2b2c2 egyenlőtlenség a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség közvetlen következménye. Már csak azt kell igazolnunk, hogy 2S(a4,b,c)\geS(a3,b2,c), vagy ami ezzel ekvivalens:

2(a3+b3+c3)\gea2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2.

Ez pedig azonnal következik a tetszőleges x,y pozitív számokra teljesülő x3+y3\gex2y+xy2 egyenlőtlenségből, amit (x+y)(x-y)2\ge0 átrendezésével igazolhatunk. Megoldásunkból az is kiderül, hogy egyenlőség pontosan az a=b=c=1/3 esetben áll fenn.


Statistics:

23 students sent a solution.
5 points:Aczél Gergely, Dudás 002 Zsolt, Huszár Kristóf, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Tossenberger Anna, Varga 171 László.
4 points:Csáforda Tamás, Kiss 243 Réka, Konkoly 001 Csaba, Kovács 729 Gergely, Pasztuhov Anna, Réti Dávid, Wang Daqian.
3 points:1 student.
2 points:3 students.
1 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley