KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4051. (December 2007)

B. 4051. Prove that every factor of \underbrace{111\ldots1}_{5^n} ends in a 1 for all positive integers n.

(5 pont)

Deadline expired on 15 January 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Elég megmutatni, hogy a szám minden prímosztója 1-esre végződik. Ha a p prímszám osztója az N=(105n-1)/9 számnak, akkor 10^{5^n}\equiv 1\pmod{p}. Ha k a legkisebb pozitív egész, amelyre 10^k\equiv 1\pmod{p}, akkor ezek szerint k\mid 5^n. Mivel N számjegyeinek összege, 5n nem osztható 3-mal, p=3 nem lehetséges, ezért k>1, vagyis 5\mid k. A kis Fermat tétel szerint 10^{p-1}\equiv 1\pmod{p}, hiszen p relatív prím 10-hez, ezért k\mid p-1, vagyis p-1 osztható 5-tel. Mivel p páratlan, p-1 osztható 2-vel, és így 10-zel is, ami az állítást igazolja.


Statistics:

17 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton.
4 points:Bartha Zsolt, Fonyó Dávid, Szabó 895 Dávid, Tóth 369 László Márton, Zieger Milán.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley