Problem B. 4051. (December 2007)
B. 4051. Prove that every factor of ends in a 1 for all positive integers n.
(5 pont)
Deadline expired on January 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Elég megmutatni, hogy a szám minden prímosztója 1-esre végződik. Ha a p prímszám osztója az N=(105n-1)/9 számnak, akkor . Ha k a legkisebb pozitív egész, amelyre , akkor ezek szerint . Mivel N számjegyeinek összege, 5n nem osztható 3-mal, p=3 nem lehetséges, ezért k>1, vagyis . A kis Fermat tétel szerint , hiszen p relatív prím 10-hez, ezért , vagyis p-1 osztható 5-tel. Mivel p páratlan, p-1 osztható 2-vel, és így 10-zel is, ami az állítást igazolja.
Statistics:
17 students sent a solution. 5 points: Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton. 4 points: Bartha Zsolt, Fonyó Dávid, Szabó 895 Dávid, Tóth 369 László Márton, Zieger Milán. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007