Problem B. 4051.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4051. Prove that every factor of $\underbrace{111\ldots1}_{5^n}$ ends in a 1 for all positive integers n.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Elég megmutatni, hogy a szám minden prímosztója 1-esre végződik. Ha a p prímszám osztója az N=(10^5ⁿ-1)/9 számnak, akkor $10^{5^n}\equiv 1\pmod{p}$ . Ha k a legkisebb pozitív egész, amelyre $10^k\equiv 1\pmod{p}$ , akkor ezek szerint $k\mid 5^n$ . Mivel N számjegyeinek összege, 5ⁿ nem osztható 3-mal, p=3 nem lehetséges, ezért k>1, vagyis $5\mid k$ . A kis Fermat tétel szerint $10^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ , hiszen p relatív prím 10-hez, ezért $k\mid p-1$ , vagyis p-1 osztható 5-tel. Mivel p páratlan, p-1 osztható 2-vel, és így 10-zel is, ami az állítást igazolja.

Statistics on problem B. 4051.

17 students sent a solution.

5 points: Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton.

4 points: Bartha Zsolt, Fonyó Dávid, Szabó 895 Dávid, Tóth 369 László Márton, Zieger Milán.

0 point: 2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007

Our web pages are supported by:

ELTE