KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4051. Prove that every factor of \underbrace{111\ldots1}_{5^n} ends in a 1 for all positive integers n.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Elég megmutatni, hogy a szám minden prímosztója 1-esre végződik. Ha a p prímszám osztója az N=(105n-1)/9 számnak, akkor 10^{5^n}\equiv 1\pmod{p}. Ha k a legkisebb pozitív egész, amelyre 10^k\equiv 1\pmod{p}, akkor ezek szerint k\mid 5^n. Mivel N számjegyeinek összege, 5n nem osztható 3-mal, p=3 nem lehetséges, ezért k>1, vagyis 5\mid k. A kis Fermat tétel szerint 10^{p-1}\equiv 1\pmod{p}, hiszen p relatív prím 10-hez, ezért k\mid p-1, vagyis p-1 osztható 5-tel. Mivel p páratlan, p-1 osztható 2-vel, és így 10-zel is, ami az állítást igazolja.


Statistics on problem B. 4051.
17 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton.
4 points:Bartha Zsolt, Fonyó Dávid, Szabó 895 Dávid, Tóth 369 László Márton, Zieger Milán.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program