KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4051. Prove that every factor of \underbrace{111\ldots1}_{5^n} ends in a 1 for all positive integers n.

(5 points)

Deadline expired on 15 January 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Elég megmutatni, hogy a szám minden prímosztója 1-esre végződik. Ha a p prímszám osztója az N=(105n-1)/9 számnak, akkor 10^{5^n}\equiv 1\pmod{p}. Ha k a legkisebb pozitív egész, amelyre 10^k\equiv 1\pmod{p}, akkor ezek szerint k\mid 5^n. Mivel N számjegyeinek összege, 5n nem osztható 3-mal, p=3 nem lehetséges, ezért k>1, vagyis 5\mid k. A kis Fermat tétel szerint 10^{p-1}\equiv 1\pmod{p}, hiszen p relatív prím 10-hez, ezért k\mid p-1, vagyis p-1 osztható 5-tel. Mivel p páratlan, p-1 osztható 2-vel, és így 10-zel is, ami az állítást igazolja.


Statistics on problem B. 4051.
17 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton.
4 points:Bartha Zsolt, Fonyó Dávid, Szabó 895 Dávid, Tóth 369 László Márton, Zieger Milán.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma  
    Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   Nemzeti Tehetség Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley