KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4053. The sequence a_1, a_2, \ldots of integers has infinitely many positive terms and infinitely many negative terms. For every n, the remainders of a_1, a_2, \ldots, a_n divided by n are pairwise different. How many times does the number 2008 occur in the sequence?

(4 points)

Deadline expired on 15 February 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Ha valamely i<j esetén ai=aj, akkor n\gej esetén nem teljesül a feltétel, tehát minden egész szám legfeljebb egyszer szerepelhet a sorozatban. Ha az a_1,a_2,\ldots,a_k számok között van kettő, melyek különbsége aj-ai=n\gek, akkor a feltétel megintcsak nem teljesül. Az eddig elmondottakból világos, hogy minden k-ra teljesül, hogy az \{a_1,a_2,\ldots,a_k\} halmaz k egymást követő egész számból áll. Mivel a sorozat végtelen sok (mint láttuk különböző) pozitív egészt tartalmaz, kell legyen ezek között olyan, melyre ai\ge2008. A sorozatnak van ezen kívül egy an negatív eleme is, ahol n>i. Az \{a_1,a_2,\ldots,a_n\} halmazban ezek szerint a 2008 számnak mindenképpen szerepelnie kell, vagyis az a sorozatban pontosan egyszer szerepel (és ez 2008 helyett bármely egész számról elmondható).


Statistics on problem B. 4053.
56 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Éles András, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Kalina Kende, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kiss 716 Eszter, Kovács 999 Noémi, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Zieger Milán.
3 points:Aczél Gergely, Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Nguyen Milán, Palincza Richárd, Szabó 895 Dávid.
2 points:15 students.
1 point:11 students.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley