KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4054. The radius of a circle inscribed in a triangle is r. The tangents drawn to the circle parallel to the sides cut three small triangles off the original triangle. Prove that the sum of the radii of the inscribed circles of the small triangles is also r.

(3 points)

Deadline expired on 15 February 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Legyenek a háromszög oldalai a,b,c, területe t. Ha i\in{a,b,c}, akkor az i oldallal párhuzamos érintővel levágott kis háromszög hasonló lesz az eredetihez, ahol a hasonlóság aránya, \alphai=(mi-2r)/mi=1-2r/mi. Ennek alapján a kis háromszögekbe írt körök sugarának összege

(\alpha_a+\alpha_b+\alpha_c)r=\Bigl\{3-2r\Bigl(\frac{1}{m_a}+\frac{1}{m_b}+
\frac{1}{m_c}\Bigr)\Bigr\}r=\Bigl\{3-2r\Bigl(\frac{a}{2t}+\frac{b}{2t}+
\frac{c}{2t}\Bigr)\Bigr\}r=

=\Bigl\{3-2\cdot\frac{r(a+b+c)}{2t}\Bigr\}r=
\Bigl(3-2\cdot\frac{2t}{2t}\Bigr)r=r.


Statistics on problem B. 4054.
128 students sent a solution.
3 points:97 students.
2 points:28 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley