KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4055. Prove that every number not greater than n! can be expressed as a sum of at most n different factors of the number n!.

(5 points)

Deadline expired on 15 February 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az állítás n=1-re nyilván igaz. A teljes indukciós bizonyításhoz tegyük fel, hogy n\ge2, és az állítást n helyett n-1 esetére már igazoltuk. Legyen 1\lek\len!. Ha k\len, akkor k\mid n!, vagyis egy darab osztó összegeként előáll. Feltehetjük tehát, hogy n+1\lek\len!. Legyen k=nq+r, ahol 0\ler\len-1 és 1\leq\le(n-1)!. Az indukciós feltevés miatt q=d_1+\ldots+d_t, ahol t\len-1 és d_1,d_2,\ldots,d_t az (n-1)! különböző osztói. Ekkor

k=nd_1+nd_2+\ldots+nd_t+r,

ahol nd_1,nd_2,\ldots,nd_t az n! különböző osztói. Ezzel r=0 esetén a k számot az n! legfeljebb n-1 darab különböző osztójának összegeként írtuk fel, 1\ler\len-1 esetén pedig legfeljebb n darab különböző osztó összegeként, hiszen r nem egyezhet meg egyik ndi számmal sem, lévén r<n\lendi.


Statistics on problem B. 4055.
50 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gőgös Balázs, Grósz Dániel, Kalina Kende, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kovács 729 Gergely, Lajos Mátyás, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mészáros András, Misnyovszki Péter, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András, Németh Bence, Palincza Richárd, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Szepesvári Dávid, Szigetvári Áron, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Wang Daqian, Zieger Milán.
4 points:Kovács 999 Noémi, Tóth 222 Barnabás.
1 point:4 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley