KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4056. The orthocentre of an acute-angled triangle is M, the centre of its circumscribed circle is O, and its sides are a<b<c. The line of side c, the line of the altitude drawn to side b, and the line MO form a triangle that is similar to the original triangle but with opposite orientation. Find the angles of the triangle.

Suggested by J. Bodnár, Budapest

(4 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: A szokásos jelölésekkel élve, a háromszög szögeire \alpha<\beta<\gamma teljesül. Mivel a háromszög hegyesszögű, az ABM szög kisebb mint \beta. A feladatban megkonstruált háromszögnek ez a szöge tehát csak \alpha lehet. A fordított körüljárási irány miatt ebből adódóan a BMO szög kell, hogy \gamma-val legyen egyenlő. A BM magasság talppontját Y-nal jelölve kapjuk, hogy az ABY derékszögű háromszög mindkét hegyesszöge \alpha, ahonnan \alpha=45o. Az AC oldal felezőpontját F-fel jelölve pedig

\tg\gamma=\frac{AY-AF}{OF-MY}

írható fel. Mivel AMY és BCY merőleges szárú szögek lévén az AMY szög is \gamma, kapjuk, hogy AY=MYtg \gamma, vagyis a fenti összefüggést 2AY=AF+OFtg \gamma alakra hozhatjuk. Figyelembe véve, hogy AY=c\cos\alpha=c/\sqrt{2}, AF=b/2, valamint hogy az AOF szög nagysága \beta, innen

\sqrt{2}c=\frac{b}{2}\Bigl(1+\frac{\tg\gamma}{\tg\beta}\Bigr)

adódik. 2tg \beta-val bővítve, a szinusz-tétel alkalmazásával kapjuk, hogy

2\sqrt{2}\sin\gamma\tg\beta=\sin\beta(\tg\beta+\tg\gamma).

A cos \betacos \gamma közös nevezővel felszorozva, sin \beta-val történő egyszerűsítés után

2\sqrt{2}\sin\gamma\cos\gamma=\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\beta=
\sin(\beta+\gamma)=\sin\alpha=1/\sqrt{2},

ahonnan sin 2\gamma=2sin \gammacos \gamma=1/2, 2\gamma=150o, \gamma=75o, és végül \beta=60o adódik.


Statistics on problem B. 4056.
36 students sent a solution.
4 points:Blázsik Zoltán, Csere Kálmán, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gyurcsik Judit, Kiss 902 Melinda Flóra, Lovas Lia Izabella, Müller Márk, Perjési Gábor, Salát Zsófia, Somogyi Ákos, Szalai Zsófia, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Véges Márton, Weisz Ágoston.
3 points:Dinh Van Anh, Márki Róbert.
2 points:15 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program