Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4061. (January 2008)

B. 4061. Given the ABC and PQR triangles such that vertex A of triangle ABC bisects side QR. Vertex P bisects side BC. Line QR bisects angle BAC, and line BC bisects angle QPR. Prove that AB+AC=PQ+PR.

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az ABC háromszög köré írható kört jelölje kA, a PQR háromszög köré írhatót pedig kP. A BC egyenesnek a kP körrel alkotott második metszéspontja legyen P', a QR egyenesnek kA-val alkotott második metszéspontja pedig A'. Mivel QPP'\angle=RPP'\angle, kapjuk, hogy QP'=RP', vagyis AP' éppen a QR szakasz felezőmerőlegese. Hasonlóképpen BA'=CA', és PA' éppen a BC szakasz felezőmerőlegese.

Legyen AP'P\angle=\varepsilon,P'AB\angle=\eta. Mivel CAA'\angle=BAA'\angle=90o-\eta, kapjuk, hogy CAP'\angle=180o-\eta, és így BA'A\angle=BCA\angle=\eta-\varepsilon. Továbbá CA'A\angle=CBA\angle=\varepsilon+\eta, ahonnan CA'P\angle=BA'P\angle=\eta, PA'A\angle=\varepsilon következik. Innen látszik, hogy az A',P,A,P' pontok egy k körvonalra illeszkednek, valamint hogy ha az A'P és P'A egyenesek metszéspontját T-vel jelöljük, akkor A'TA\angle=90o-\varepsilon=BAA'\angle+BCA\angle=BCA'\angle+BCA\angle=A'CA\angle. A T pont tehát illeszkedik a kA körre, és ugyanígy a kP körre is, méghozzá TA' a kA körnek, míg TP' a kP körnek átmérője is egyben.

A Ptolemaiosz-tétel szerint (PQ+PR)RP'=PQ.RP'+PR.QP'=QR.PP'=2AR.TP'cos \varepsilon. Felhasználva a P'AR és P'RT derékszögű háromszögek hasonlóságát, innen

PQ+PR=2\cdot\frac{AR}{RP'}\cdot TP'\cdot\cos\varepsilon= 2\cdot\frac{RT}{TP'}\cdot TP'\cdot\cos\varepsilon= 2\cdot TR\cdot\cos\varepsilon

adódik, és ugyanígy AB+AC=2.TC.cos \varepsilon. A bizonyítandó állításhoz elegendő tehát a TR=TC egyenlőséget igazolni.

Tegyük fel, hogy az XY és ZV szakaszok az M pontban metszik egymást. Jól ismert, hogy az X,Z,Y,V pontok pontosan akkor illeszkednek egy körvonalra, ha MX.MY=MZ.MV. Ezt rendre a kA, k és kP körökre alkalmazva

MB.MC=MA.MA'=MP.MP'=MQ.MR

adódik vagyis a B,Q,C és R pontok egy körre esnek. TB=TC és TQ=TR miatt ennek a körnek éppen T a középpontja, vagyis valóban TR=TC.

Statistics:

8 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Dinh Hoangthanh Attila, Lovas Lia Izabella, Tossenberger Anna, Varga 171 László.
4 points:Somogyi Ákos.
3 points:1 student.
1 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008