KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4061. (January 2008)

B. 4061. Given the ABC and PQR triangles such that vertex A of triangle ABC bisects side QR. Vertex P bisects side BC. Line QR bisects angle BAC, and line BC bisects angle QPR. Prove that AB+AC=PQ+PR.

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az ABC háromszög köré írható kört jelölje kA, a PQR háromszög köré írhatót pedig kP. A BC egyenesnek a kP körrel alkotott második metszéspontja legyen P', a QR egyenesnek kA-val alkotott második metszéspontja pedig A'. Mivel QPP'\angle=RPP'\angle, kapjuk, hogy QP'=RP', vagyis AP' éppen a QR szakasz felezőmerőlegese. Hasonlóképpen BA'=CA', és PA' éppen a BC szakasz felezőmerőlegese.

Legyen AP'P\angle=\varepsilon,P'AB\angle=\eta. Mivel CAA'\angle=BAA'\angle=90o-\eta, kapjuk, hogy CAP'\angle=180o-\eta, és így BA'A\angle=BCA\angle=\eta-\varepsilon. Továbbá CA'A\angle=CBA\angle=\varepsilon+\eta, ahonnan CA'P\angle=BA'P\angle=\eta, PA'A\angle=\varepsilon következik. Innen látszik, hogy az A',P,A,P' pontok egy k körvonalra illeszkednek, valamint hogy ha az A'P és P'A egyenesek metszéspontját T-vel jelöljük, akkor A'TA\angle=90o-\varepsilon=BAA'\angle+BCA\angle=BCA'\angle+BCA\angle=A'CA\angle. A T pont tehát illeszkedik a kA körre, és ugyanígy a kP körre is, méghozzá TA' a kA körnek, míg TP' a kP körnek átmérője is egyben.

A Ptolemaiosz-tétel szerint (PQ+PR)RP'=PQ.RP'+PR.QP'=QR.PP'=2AR.TP'cos \varepsilon. Felhasználva a P'AR és P'RT derékszögű háromszögek hasonlóságát, innen

PQ+PR=2\cdot\frac{AR}{RP'}\cdot TP'\cdot\cos\varepsilon=
2\cdot\frac{RT}{TP'}\cdot TP'\cdot\cos\varepsilon=
2\cdot TR\cdot\cos\varepsilon

adódik, és ugyanígy AB+AC=2.TC.cos \varepsilon. A bizonyítandó állításhoz elegendő tehát a TR=TC egyenlőséget igazolni.

Tegyük fel, hogy az XY és ZV szakaszok az M pontban metszik egymást. Jól ismert, hogy az X,Z,Y,V pontok pontosan akkor illeszkednek egy körvonalra, ha MX.MY=MZ.MV. Ezt rendre a kA, k és kP körökre alkalmazva

MB.MC=MA.MA'=MP.MP'=MQ.MR

adódik vagyis a B,Q,C és R pontok egy körre esnek. TB=TC és TQ=TR miatt ennek a körnek éppen T a középpontja, vagyis valóban TR=TC.


Statistics:

8 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Dinh Hoangthanh Attila, Lovas Lia Izabella, Tossenberger Anna, Varga 171 László.
4 points:Somogyi Ákos.
3 points:1 student.
1 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley