KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4063. Al and Bill take turns choosing cards one by one from the deck of 81 SET cards (see the article on page http://galileo.stmarys-ca.edu/bdavis/set.pdf) and placing them on the table. When SET first appears on the table, the player placing the last card loses the game. If Al begins, which player has a winning strategy?

R. Deme-Farkas and P. Csikvári

(4 points)

Deadline expired on 17 March 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Tegyük fel, hogy elsőnek Aladár az A, Béla a B lapot választja. Ekkor egyértelműen létezik egy ezektől különböző O lap, amelyre A,B és O egy SET-et alkot. Tetszőleges X\neO lap esetén egyértelműen létezik egy X'\not\in\{ O,X\} lap, amelyre O,X és X' SET-et alkot, nevezzük ezt X tükörképének. Nyilván X' tükörképe X lesz, A és B pedig egymás tükörképei.

Nem nehéz meggondolni, hogy az O-tól különböző X,Y,Z lapok pontosan akkor alkotnak SET-et, ha X',Y',Z' tükörképeik SET-et alkotnak. Valóban, válasszuk ki a négy közül valamelyik tulajdonságot, és jelölje p,q,r e tulajdonság három jellemző értékét (pl. ha a szóban forgó \tau tulajdonság a kártyán látható alakzatok színe, akkor \{p,q,r\}=\{\hbox{\rm
piros, z\" old, lila}\}). Tegyük fel először hogy a \tau tulajdonságban X,Y és Z megegyeznek, és legyen ez a közös érték mondjuk p. Ha \tau-ban az O lap értéke is p, akkor ugyanez az X',Y',Z' lapokra is igaz lesz, ha pedig p-től különböző (mondjuk q), akkor a \tau tulajdonságra nézve X',Y' és Z' értéke is ugyanaz lesz (r). A másik esetben, ha \tau-ra nézve X,Y,Z mind különböznek, mondjuk \tau(X)=p, \tau(Y)=q, \tau(Z)=r, és \tau(O) mondjuk p, akkor \tau(X')=p, \tau(Y')=r és \tau(Z')=q miatt \tau-ra nézve X',Y' és Z' is a három különböző értéket fogják reprezentálni.

Ezek után már nem nehéz megmutatni, hogy Bélának van nyerő stratégiája: csak annyit kell tennie, hogy ha Aladár az X\neO lapot választja, akkor Béla a következő lépésben az X' lapot választja (ha Aladár az O lapot választja, akkor már el is veszítette a játékot). Indukcióval ugyanis beláthatjuk, hogy ha Béla így játszik, akkor Béla minden lépése után az asztalon lévő mindegyik kártyával együtt annak tükörképe is az asztalon lesz, tehát ha Aladár az X lapot választja, akkor X'-nek még a pakliban kell lennie, Béla ezt ki tudja tehát választani. Ha az X lap elhelyezése után még nem jött létre SET az asztalon, akkor az X' lap elhelyezése után is fennáll ez a helyzet, ugyanis ha az asztalon lévő X',Y,Z lapok SET-et alkotnának, akkor Y,Z\not\in \{X,X',O\} miatt X,Y',Z' is SET-et alkotnának, de az elmondottak miatt az Y',Z' lapoknak már X elhelyezése előtt az asztalon kellett volna lennie, ami ellentmond annak a feltevésnek, hogy Aladár lépése után még nem jött létre SET. Mivel az O lap A,B-vel együtt SET-et alkot, és a kártyák száma véges, Béla ezen stratégiája mellett Aladár előbb-utóbb olyan helyzetbe kerül, hogy csak olyan lapot tud elhelyezni az asztalra, ami két már ott lévő lappal együtt SET-et alkot.


Statistics on problem B. 4063.
41 students sent a solution.
4 points:Aczél Gergely, Bálint Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bunth Gergely, Csere Kálmán, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Kiss 232 Dóra, Kiss 243 Réka, Muszka Balázs, Nagy 648 Donát, Palincza Richárd, Perjési Gábor, Szabó 895 Dávid, Szőke Nóra, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Wagner Zsolt, Zelena Réka.
0 point:18 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program