Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4066. (February 2008)

B. 4066. Prove that if both midlines of a quadrilateral halve its area then the quadrilateral is a parallelogram.

(4 pont)

Deadline expired on March 17, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás: Jelölje a négyszög csúcsait A,B,C,D, az oldalfelező pontokat pedig E,F,G,H az ábra szerint. Az EFGH négyszög oldalai párhuzamosak az ABCD négyszög átlóival, és fele olyan hosszúak. Az EFGH paralelogrammát tehát átlói négy egyenként e területű háromszögre bontják, a másik négy kis háromszög területét pedig jelölje értelemszerűen a,b,c,d, végül az ABCD négyszög területe legyen 2t. A feltételek szerint a+b=b+c=c+d=d+a=t-2e.

Az FCG háromszöget és az AEH háromszöget az egymással párhuzamos és egyenlő hosszú FG, illetve EH oldalaik mentén összeillesztve egy olyan négyszöghöz jutunk, amely egybevágó azzal a négyszöggel, ami az EBF és GDH háromszögek egymással párhuzamos és egyenlő hosszú EF, illetve HG oldalaik mentén történő összeillesztésével nyerhető. Ebből adódóan a+c=b+d, vagyis mindent összevetve a=b=c=d. Mivel tehát az AEH és EBF háromszögek területe megegyezik és AE=EB is fennáll, látható, hogy az F pont ugyanolyan távol esik az AB egyenestől, mint a H pont, vagyis AB párhuzamos FH-val. Szimmetria okok miatt a CD egyenes is párhuzamos FH-val, vagyis AB párhuzamos CD-vel, és ugyanígy BC is párhuzamos AD-vel. Az ABCD négyszög tehát tényleg paralelogramma.

2. megoldás: Jelölje t1 az AED, t2 a DEG, t3 az EBC és t4 az ECG háromszög területét.

A DEC háromszögben EG súlyvonal, így felezi a háromszög területét. Tehát t2=t4. Azt is tudjuk, hogy t1+t2=t3+t4, és emiatt t1=t3 is teljesül. Ez pedig azt jelenti, hogy AB\parallel CD. Hasonlóan látható be, hogy AD\parallel BC.

A négyszög szemközti oldalai párhuzamosak, tehát paralelogramma.


Statistics:

139 students sent a solution.
4 points:112 students.
3 points:6 students.
2 points:6 students.
1 point:6 students.
0 point:9 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008