A B. 4066. feladat (2008. február)

B. 4066. Igazoljuk, hogy ha egy konvex négyszög területét mindkét középvonala felezi, akkor az paralelogramma.

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. március 17-én LEJÁRT.

1. megoldás: Jelölje a négyszög csúcsait A,B,C,D, az oldalfelező pontokat pedig E,F,G,H az ábra szerint. Az EFGH négyszög oldalai párhuzamosak az ABCD négyszög átlóival, és fele olyan hosszúak. Az EFGH paralelogrammát tehát átlói négy egyenként e területű háromszögre bontják, a másik négy kis háromszög területét pedig jelölje értelemszerűen a,b,c,d, végül az ABCD négyszög területe legyen 2t. A feltételek szerint a+b=b+c=c+d=d+a=t-2e.

Az FCG háromszöget és az AEH háromszöget az egymással párhuzamos és egyenlő hosszú FG, illetve EH oldalaik mentén összeillesztve egy olyan négyszöghöz jutunk, amely egybevágó azzal a négyszöggel, ami az EBF és GDH háromszögek egymással párhuzamos és egyenlő hosszú EF, illetve HG oldalaik mentén történő összeillesztésével nyerhető. Ebből adódóan a+c=b+d, vagyis mindent összevetve a=b=c=d. Mivel tehát az AEH és EBF háromszögek területe megegyezik és AE=EB is fennáll, látható, hogy az F pont ugyanolyan távol esik az AB egyenestől, mint a H pont, vagyis AB párhuzamos FH-val. Szimmetria okok miatt a CD egyenes is párhuzamos FH-val, vagyis AB párhuzamos CD-vel, és ugyanígy BC is párhuzamos AD-vel. Az ABCD négyszög tehát tényleg paralelogramma.

2. megoldás: Jelölje t₁ az AED, t₂ a DEG, t₃ az EBC és t₄ az ECG háromszög területét.

A DEC háromszögben EG súlyvonal, így felezi a háromszög területét. Tehát t₂=t₄. Azt is tudjuk, hogy t₁+t₂=t₃+t₄, és emiatt t₁=t₃ is teljesül. Ez pedig azt jelenti, hogy . Hasonlóan látható be, hogy .

A négyszög szemközti oldalai párhuzamosak, tehát paralelogramma.

Statisztika:

139 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	112 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2008. februári matematika feladatai