KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4067. Erect a perpendicular to each of the sides AB, BC, CA of a triangle of perimeter k at the vertices A, B, C, respectively. Let K denote the perimeter of the new triangle obtained from the perpendiculars. Prove that \frac{K}{k}= \cot\alpha+ \cot\beta+
\cot\gamma, where \alpha, \beta and \gamma are the angles of the triangle ABC.

(3 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az új háromszög csúcsait jelölje az ábrán látható módon A',B',C'. Mivel a szerkesztés során merőleges szárú szögek lépnek fel, az A'B'C' háromszög hasonló az eredeti ABC háromszöghöz. Ábránk ezt a hegyesszögű esetben szemlélteti, de könnyen ellenőrizhető, hogy ez mindig így lesz. Azt kell tehát csak megmutatnunk, hogy a hasonlóság aránya ctg\alpha+ctg\beta+ctg\gamma.

Feltehetjük, hogy \beta,\gamma<90o, ekkor a B csúcs az ábrán látható módon elválasztja a B' és C' pontokat, vagyis

B'C'=BB'+BC'=\frac{c}{\sin\beta}+a\rm{ctg}\gamma.

Azt szeretnénk megmutatni, hogy B'C'=a(ctg\alpha+ctg\beta+ctg\gamma). A fenti összefüggés és a szinusz-tétel alapján ez azzal ekvivalens, hogy

\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\sin{\alpha}(\rm{ctg}\alpha+ 
\rm{ctg}\beta).

Ha sin \beta-val felszorzunk, akkor az ezzel egyenértékű

sin \gamma=sin \betacos \alpha+sin \alphacos \beta

összefüggésre jutunk, ami pedig nyilván teljesül, hiszen sin \gamma=sin (180o-\alpha-\beta)=sin (\alpha+\beta).


Statistics on problem B. 4067.
53 students sent a solution.
3 points:Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Anda Roland, Balázs Barbara Anna, Balla Attila, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Eckert János, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Fukker Gábor, Földi Sándor, Gyurcsik Judit, Héricz Dalma, Hursán Zsófia, Huszár Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 235 Gábor, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Marák Károly, Mészáros András, Mihálykó Ágnes, Müller Márk, Nagy Róbert, Nguyen Sy Bang, Paripás Viktor, Peregi Tamás, Petróczy Dóra Gréta, Réti Dávid, Salát Zsófia, Szabó 895 Dávid, Szalai Szilárd, Szalkai Balázs, Szegedy Lóránt, Szepesvári Dávid, Szórádi Márk, Ta Phuong Linh, Vajk Dóra, Varju 105 Tamás, Wagner Zsolt, Weisz Ágoston, Welsz Edit, Zieger Milán, Zsupanek Alexandra.
2 points:Bartha Éva Lili.
1 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program