Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4068. (February 2008)

B. 4068. Let A, B, C, a, b, c denote positive integers, a.b.c>1. Prove that there exists a positive integer n, such that A.an+B.bn+C.cn is a composite number.

(4 pont)

Deadline expired on March 17, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen p az egynél nagyobb Aa+Bb+Cc szám egy (pozitív) prímosztója. Mivel a kis Fermat-tétel értelmében minden k egész számra teljesül, hogy k^p\equiv k\pmod{p}, felírhatjuk, hogy

N=Aa^p+Bb^p+Cc^p\equiv Aa+Bb+Cc\equiv0\pmod{p},

vagyis N osztható p-vel. Másrészt a feltétel miatt az a,b,c számok valamelyike 1-nél nagyobb, amiértis N>Aa+Bb+Cc\gep. Az n=p választás mellett tehát Aan+Bbn+Ccn összetett szám lesz.


Statistics:

40 students sent a solution.
4 points:Bálint Dániel, Bartha 002 Zsolt, Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Éles András, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 542 Robin, Kiss 902 Melinda Flóra, Konkoly 001 Csaba, Kovács 999 Noémi, Lenger Dániel, Márkus Bence, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Wang Daqian, Weisz Ágoston, Zelena Réka.
3 points:Dudás 002 Zsolt, Gele Viktória, Kalina Kende, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Zieger Milán.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008