KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4068. Let A, B, C, a, b, c denote positive integers, a.b.c>1. Prove that there exists a positive integer n, such that A.an+B.bn+C.cn is a composite number.

(4 points)

Deadline expired on 17 March 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Legyen p az egynél nagyobb Aa+Bb+Cc szám egy (pozitív) prímosztója. Mivel a kis Fermat-tétel értelmében minden k egész számra teljesül, hogy k^p\equiv k\pmod{p}, felírhatjuk, hogy

N=Aa^p+Bb^p+Cc^p\equiv Aa+Bb+Cc\equiv0\pmod{p},

vagyis N osztható p-vel. Másrészt a feltétel miatt az a,b,c számok valamelyike 1-nél nagyobb, amiértis N>Aa+Bb+Cc\gep. Az n=p választás mellett tehát Aan+Bbn+Ccn összetett szám lesz.


Statistics on problem B. 4068.
40 students sent a solution.
4 points:Bálint Dániel, Bartha 002 Zsolt, Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Éles András, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 542 Robin, Kiss 902 Melinda Flóra, Konkoly 001 Csaba, Kovács 999 Noémi, Lenger Dániel, Márkus Bence, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Wang Daqian, Weisz Ágoston, Zelena Réka.
3 points:Dudás 002 Zsolt, Gele Viktória, Kalina Kende, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Zieger Milán.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley