KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4068. (February 2008)

B. 4068. Let A, B, C, a, b, c denote positive integers, a.b.c>1. Prove that there exists a positive integer n, such that A.an+B.bn+C.cn is a composite number.

(4 pont)

Deadline expired on 17 March 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen p az egynél nagyobb Aa+Bb+Cc szám egy (pozitív) prímosztója. Mivel a kis Fermat-tétel értelmében minden k egész számra teljesül, hogy k^p\equiv k\pmod{p}, felírhatjuk, hogy

N=Aa^p+Bb^p+Cc^p\equiv Aa+Bb+Cc\equiv0\pmod{p},

vagyis N osztható p-vel. Másrészt a feltétel miatt az a,b,c számok valamelyike 1-nél nagyobb, amiértis N>Aa+Bb+Cc\gep. Az n=p választás mellett tehát Aan+Bbn+Ccn összetett szám lesz.


Statistics:

40 students sent a solution.
4 points:Bálint Dániel, Bartha 002 Zsolt, Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Éles András, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 542 Robin, Kiss 902 Melinda Flóra, Konkoly 001 Csaba, Kovács 999 Noémi, Lenger Dániel, Márkus Bence, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Wang Daqian, Weisz Ágoston, Zelena Réka.
3 points:Dudás 002 Zsolt, Gele Viktória, Kalina Kende, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Zieger Milán.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley