Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4069. (February 2008)

B. 4069. The lengths of the tangents drawn from the points A and B to a circle k are a and b, respectively. T is a point of the circle not collinear with A and B for which \frac{AT}{a}=\frac{BT}{b}. Prove that the circle passing through the points A, B, T touches k.

(5 pont)

Deadline expired on March 17, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Mivel az A, B, T pontok nem esnek egy egyenesre, AT/a=BT/b=\kappa\ne1. A k kör középpontját jelöljük O-val, a sík egy X pontjából a k-hoz húzott érintőszakasz hosszát pedig jelölje x. A feladatban megfogalmazott állítás azonnal következik az alábbi általános észrevételből: tetszőleges 0<\kappa\ne1 esetén azon X pontok mértani helye a síkon, amelyekre XT/x=\kappa, egy olyan k_\kappa kör T-től különböző pontjaival egyezik meg, amely áthalad a T ponton, középpontja pedig az OT egyenesre esik. Ezt fogjuk tehát bizonyítani.

Vegyük fel azt a derékszögű koordinátarendszert, amelynek középpontja O, és amelyben a T pont koordinátái T(1;0). Az X(u;v) pont pontosan akkor esik a k körön kívül, ha u2+v2>1, ekkor az OX egyenesnek a k-val alkotott metszéspontjai P(u/\sqrt{u^2+v^2};v/\sqrt{u^2+v^2}) és Q(-u/\sqrt{u^2+v^2};-v/\sqrt{u^2+v^2}) lesznek. Az X pontnak a k körre vonatkozó x2=XP.XQ hatványa tehát

\sqrt{\Bigl(u-\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}\Bigr)^2+
\Bigl(v-\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\Bigr)^2}\cdot
\sqrt{\Bigl(u+\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}\Bigr)^2+
\Bigl(v+\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\Bigr)^2}

=\sqrt{(u^2+v^2)\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}}\Bigr)^2}\cdot
\sqrt{(u^2+v^2)\Bigl(1+\frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}}\Bigr)^2}

=(u^2+v^2)\sqrt{\Bigl(1-\frac{1}{u^2+v^2}\Bigr)^2}=u^2+v^2-1.

Másrészt XT2=(u-1)2+v2, vagyis az XT/x=\kappa feltétel u2+v2\ne1 esetén ekvivalens az

(u-1)2+v2=\kappa2(u2+v2-1)

feltétellel, amit elemi átalakításokkal

\Bigl(u-\frac{1}{1-\kappa^2}\Bigr)^2+v^2=\Bigl(\frac{\kappa^2}{1-\kappa^2}
\Bigr)^2

alakra hozhatunk. 0<\kappa<1 esetén ez egy olyan T-n átmenő kör egyenlete, amelynek (\frac{1}{1-\kappa^2};0) középpontja az OT szakasz T-n túli meghosszabbítására esik, \kappa>1 esetén pedig egy olyan T-n átmenő kör egyenlete, amelynek (\frac{1}{1-\kappa^2};0) középpontja az OT szakasz O-n túli meghosszabbítására esik. Mindkét esetben tehát egy olyan k_\kappa körhöz jutottunk, amely k-t a T-ben érinti, és a T ponttól eltekintve azon kívül helyezkedik el. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.


Statistics:

34 students sent a solution.
5 points:Bencs 111 Ferenc, Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Éles András, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Grósz Dániel, Horváth 385 Vanda, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Szabó 895 Dávid, Tossenberger Anna, Tubak Dániel, Varga 171 László.
4 points:Bartha Zsolt, Csere Kálmán, Farkas Márton, Huszár Kristóf, Strenner Péter, Szalkai Balázs, Szórádi Márk, Tóth 369 László Márton, Véges Márton, Wang Daqian.
3 points:3 students.
2 points:1 student.
1 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008