KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4070. The positive integers a and b, written in decimal system, can be obtained from each other by rearranging their digits. Prove that

a) the sum of the digits of 2a equals that of 2b;

b) if both a and b are even, then the sum of the digits of \frac{a}{2} equals that of \frac{b}{2}.

Kvant

(5 points)

Deadline expired on 17 March 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Ha n,m természetes számok, akkor jelölje S(n) az n számjegyeinek összegét, és legyen n\simm, ha n és m megkaphatók egymásból számjegyeik sorrendjének megváltoztatásával. Az első állítás azt jelenti, hogy ha a\simb, akkor S(2a)=S(2b). Minthogy pedig nyilván S(10n)=S(n), a második állításhoz elegendő azt megmutatnunk, hogy ha a\simb, akkor S(5a)=S(5b). Tegyük fel, hogy az n szám számjegyei sorban n_k,n_{k-1},\ldots,n_0. Az alábbiakban megvizsgáljuk, mik lesznek a 2n, illetve az 5n számok számjegyei.

Ha i\in{2,5} és j tetszőleges számjegy, akkor legyen fi(j) az ij szám utolsó számjegye, gi(j) pedig az ij szám első számjegye, amennyiben ij kétjegyű, különben pedig legyen 0. Világos, hogy f2(j)\in{0,2,4,6,8}, g2(j)\in{0,1}, f5(j)\in{0,5} és g5(j)\in{0,1,2,3,4}, vagyis tetszőleges j számjegyre és i\in{2,5} indexre teljesül, hogy 0\lefi(j)+gi(j)\le9. Ha még az nk+1=n-1=0 jelölést is bevezetjük, akkor in utolsó számjegye fi(n0)=fi(n0)+gi(n-1) lesz, és \alpha szerinti teljes indukcióval kapjuk, hogy a legfeljebb k+2 jegyű in számban a 10^\alpha helyiértéken álló számjegy éppen f_i(n_\alpha)+g_i(n_{\alpha-1}) lesz tetszőleges 0\le\alpha\lek+1 esetén (ha történetesen gi(nk)=0, akkor in-nek csak k+1 számjegye lesz). Innen rögtön leolvasható, hogy i\in{2,5} esetén

S(in)=\sum_{\alpha=0}^{k+1}f_i(n_\alpha)+\sum_{\alpha=-1}^{k}g_i(n_\alpha)
=\sum_{\alpha=0}^{k}(f_i(n_\alpha)+g_i(n_\alpha)),

ami csak az n számjegyeitől függ, de független azok sorrendjétől. Ez pedig egyszerre igazolja mindkét állítást.


Statistics on problem B. 4070.
85 students sent a solution.
5 points:60 students.
4 points:18 students.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
1 point:2 students.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley