Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4070. feladat (2008. február)

B. 4070. Az a és b természetes számok megkaphatók egymásból (10-es számrendszerben felírt) számjegyeik sorrendjének megváltoztatásával. Bizonyítsuk be, hogy

a) 2a és 2b számjegyeinek összege egyenlő.

b) Ha a és b páros számok, akkor \frac{a}{2} és \frac{b}{2} számjegyeinek összege egyenlő.

Kvant feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. március 17-én LEJÁRT.

Megoldás: Ha n,m természetes számok, akkor jelölje S(n) az n számjegyeinek összegét, és legyen n\simm, ha n és m megkaphatók egymásból számjegyeik sorrendjének megváltoztatásával. Az első állítás azt jelenti, hogy ha a\simb, akkor S(2a)=S(2b). Minthogy pedig nyilván S(10n)=S(n), a második állításhoz elegendő azt megmutatnunk, hogy ha a\simb, akkor S(5a)=S(5b). Tegyük fel, hogy az n szám számjegyei sorban n_k,n_{k-1},\ldots,n_0. Az alábbiakban megvizsgáljuk, mik lesznek a 2n, illetve az 5n számok számjegyei.

Ha i\in{2,5} és j tetszőleges számjegy, akkor legyen fi(j) az ij szám utolsó számjegye, gi(j) pedig az ij szám első számjegye, amennyiben ij kétjegyű, különben pedig legyen 0. Világos, hogy f2(j)\in{0,2,4,6,8}, g2(j)\in{0,1}, f5(j)\in{0,5} és g5(j)\in{0,1,2,3,4}, vagyis tetszőleges j számjegyre és i\in{2,5} indexre teljesül, hogy 0\lefi(j)+gi(j)\le9. Ha még az nk+1=n-1=0 jelölést is bevezetjük, akkor in utolsó számjegye fi(n0)=fi(n0)+gi(n-1) lesz, és \alpha szerinti teljes indukcióval kapjuk, hogy a legfeljebb k+2 jegyű in számban a 10^\alpha helyiértéken álló számjegy éppen f_i(n_\alpha)+g_i(n_{\alpha-1}) lesz tetszőleges 0\le\alpha\lek+1 esetén (ha történetesen gi(nk)=0, akkor in-nek csak k+1 számjegye lesz). Innen rögtön leolvasható, hogy i\in{2,5} esetén

S(in)=\sum_{\alpha=0}^{k+1}f_i(n_\alpha)+\sum_{\alpha=-1}^{k}g_i(n_\alpha) =\sum_{\alpha=0}^{k}(f_i(n_\alpha)+g_i(n_\alpha)),

ami csak az n számjegyeitől függ, de független azok sorrendjétől. Ez pedig egyszerre igazolja mindkét állítást.

Statisztika:

85 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:60 versenyző.
4 pontot kapott:18 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2008. februári matematika feladatai