KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4071. Prove that for every positive integer n, \min_{k \in \mathbb{N}} \left[k +
\frac{n}{k}\right] =
\big[\sqrt{4n + 1}\,\big].

I. Blahota

(4 points)

Deadline expired on 17 March 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Legyen [\sqrt{n}]=m, ekkor m\le \sqrt{n}<m+1, m2\len<m2+2m+1. Ha k,\ell természetes számok, akkor

\Bigl(k+\frac{n}{k}\Bigr)-\Bigl(\ell+\frac{n}{\ell}\Bigr)=
\frac{(k-\ell)(k\ell-n)}{k\ell}\le 0,

feltéve, hogy \ell\le k=m\le \sqrt{n} vagy \ell\ge k=m+1> \sqrt{n}. Innen rögtön következik, hogy

\min_{k \in \mathbb{N}} \left[k + \frac{n}{k}\right] = \min\Bigl\{ 
m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr],m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]\Bigr\}.

Ha m2\len\lem2+m-1, akkor

(2m)2+1\le4n+1\le(2m+1)2-4,

vagyis [4n+1]=2m. Továbbá m\le \frac{n}{m}<m+1 és m-1<\frac{n}{m+1}<m miatt

m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr]=m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]=2m,

tehát az egyenlőség ez esetben teljesül. Ha pedig m2+m\len\lem2+2m, akkor egyrészt

(2m+1)2\le4n+1\le(2m+2)2-3,

vagyis [4n+1]=2m+1, másrészt m+1\le \frac{n}{m}\le m+2 és m\le \frac{n}{m+1}<m+1 miatt

m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]=2m+1\le m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr]\le 2m+2,

tehát az egyenlőség ebben az esetben is teljesül.


Statistics on problem B. 4071.
32 students sent a solution.
4 points:Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Énekes Péter, Kiss 243 Réka, Márkus Bence, Mihálykó Ágnes, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton, Weisz Ágoston.
3 points:Huszár Kristóf, Kovács 729 Gergely, Strenner Péter.
2 points:4 students.
1 point:5 students.
0 point:6 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley