Problem B. 4071.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4071. Prove that for every positive integer n, $\min_{k \in \mathbb{N}} \left[k + \frac{n}{k}\right] = \big[\sqrt{4n + 1}\,\big]$ .

I. Blahota

(4 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Legyen $[\sqrt{n}]=m$ , ekkor $m\le \sqrt{n}<m+1$ , m² $\le$ n<m²+2m+1. Ha k, $\ell$ természetes számok, akkor

$\Bigl(k+\frac{n}{k}\Bigr)-\Bigl(\ell+\frac{n}{\ell}\Bigr)= \frac{(k-\ell)(k\ell-n)}{k\ell}\le 0,$

feltéve, hogy $\ell\le k=m\le \sqrt{n}$ vagy $\ell\ge k=m+1> \sqrt{n}$ . Innen rögtön következik, hogy

$\min_{k \in \mathbb{N}} \left[k + \frac{n}{k}\right] = \min\Bigl\{ m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr],m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]\Bigr\}.$

Ha m² $\le$ n $\le$ m²+m-1, akkor

(2m)²+1 $\le$ 4n+1 $\le$ (2m+1)²-4,

vagyis [4n+1]=2m. Továbbá $m\le \frac{n}{m}<m+1$ és $m-1<\frac{n}{m+1}<m$ miatt

$m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr]=m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]=2m,$

tehát az egyenlőség ez esetben teljesül. Ha pedig m²+m $\le$ n $\le$ m²+2m, akkor egyrészt

(2m+1)² $\le$ 4n+1 $\le$ (2m+2)²-3,

vagyis [4n+1]=2m+1, másrészt $m+1\le \frac{n}{m}\le m+2$ és $m\le \frac{n}{m+1}<m+1$ miatt

$m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]=2m+1\le m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr]\le 2m+2,$

tehát az egyenlőség ebben az esetben is teljesül.

Statistics on problem B. 4071.

32 students sent a solution.

4 points: Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Énekes Péter, Kiss 243 Réka, Márkus Bence, Mihálykó Ágnes, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton, Weisz Ágoston.

3 points: Huszár Kristóf, Kovács 729 Gergely, Strenner Péter.

2 points: 4 students.

1 point: 5 students.

0 point: 6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008

Our web pages are supported by:

ELTE