KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4071. (February 2008)

B. 4071. Prove that for every positive integer n, \min_{k \in \mathbb{N}} \left[k +
\frac{n}{k}\right] =
\big[\sqrt{4n + 1}\,\big].

I. Blahota

(4 pont)

Deadline expired on 17 March 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen [\sqrt{n}]=m, ekkor m\le \sqrt{n}<m+1, m2\len<m2+2m+1. Ha k,\ell természetes számok, akkor

\Bigl(k+\frac{n}{k}\Bigr)-\Bigl(\ell+\frac{n}{\ell}\Bigr)=
\frac{(k-\ell)(k\ell-n)}{k\ell}\le 0,

feltéve, hogy \ell\le k=m\le \sqrt{n} vagy \ell\ge k=m+1> \sqrt{n}. Innen rögtön következik, hogy

\min_{k \in \mathbb{N}} \left[k + \frac{n}{k}\right] = \min\Bigl\{ 
m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr],m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]\Bigr\}.

Ha m2\len\lem2+m-1, akkor

(2m)2+1\le4n+1\le(2m+1)2-4,

vagyis [4n+1]=2m. Továbbá m\le \frac{n}{m}<m+1 és m-1<\frac{n}{m+1}<m miatt

m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr]=m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]=2m,

tehát az egyenlőség ez esetben teljesül. Ha pedig m2+m\len\lem2+2m, akkor egyrészt

(2m+1)2\le4n+1\le(2m+2)2-3,

vagyis [4n+1]=2m+1, másrészt m+1\le \frac{n}{m}\le m+2 és m\le \frac{n}{m+1}<m+1 miatt

m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]=2m+1\le m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr]\le 2m+2,

tehát az egyenlőség ebben az esetben is teljesül.


Statistics:

>
32 students sent a solution.
4 points:Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Énekes Péter, Kiss 243 Réka, Márkus Bence, Mihálykó Ágnes, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton, Weisz Ágoston.
3 points:Huszár Kristóf, Kovács 729 Gergely, Strenner Péter.
2 points:4 students.
1 point:5 students.
0 point:6 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley