Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4072. (March 2008)

B. 4072. Let S(n) denote the sum of the digits of the natural number n. Prove that there are infinitely many natural numbers n not ending in 0, such that S(n2)=S(n).

Suggested by G. Holló, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on April 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Minden k természetes számra n=10k-1 megfelelő lesz. Ekkor ugyanis egyrészt n olyan k-jegyű szám, amelynek minden számjegye 9-es, vagyis S(n)=9k. Másrészt

n2=102k-2.10k+1=10k(10k-2)+1,

vagyis S(n2)=S(10k-2)+1. Itt 10k-2 az a k-jegyű szám, amelynek minden számjegye 9-es, kivéve az utolsót, ami 8-as. Ezért S(10k-2)=9(k-1)+8, S(n2)=9(k-1)+8+1=9k=S(n).


Statistics:

118 students sent a solution.
3 points:112 students.
2 points:4 students.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008