KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4072. (March 2008)

B. 4072. Let S(n) denote the sum of the digits of the natural number n. Prove that there are infinitely many natural numbers n not ending in 0, such that S(n2)=S(n).

Suggested by G. Holló, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on 15 April 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Minden k természetes számra n=10k-1 megfelelő lesz. Ekkor ugyanis egyrészt n olyan k-jegyű szám, amelynek minden számjegye 9-es, vagyis S(n)=9k. Másrészt

n2=102k-2.10k+1=10k(10k-2)+1,

vagyis S(n2)=S(10k-2)+1. Itt 10k-2 az a k-jegyű szám, amelynek minden számjegye 9-es, kivéve az utolsót, ami 8-as. Ezért S(10k-2)=9(k-1)+8, S(n2)=9(k-1)+8+1=9k=S(n).


Statistics:

118 students sent a solution.
3 points:112 students.
2 points:4 students.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley