Problem B. 4072. (March 2008)
B. 4072. Let S(n) denote the sum of the digits of the natural number n. Prove that there are infinitely many natural numbers n not ending in 0, such that S(n2)=S(n).
Suggested by G. Holló, Budapest
(3 pont)
Deadline expired on April 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Minden k természetes számra n=10k-1 megfelelő lesz. Ekkor ugyanis egyrészt n olyan k-jegyű szám, amelynek minden számjegye 9-es, vagyis S(n)=9k. Másrészt
n2=102k-2.10k+1=10k(10k-2)+1,
vagyis S(n2)=S(10k-2)+1. Itt 10k-2 az a k-jegyű szám, amelynek minden számjegye 9-es, kivéve az utolsót, ami 8-as. Ezért S(10k-2)=9(k-1)+8, S(n2)=9(k-1)+8+1=9k=S(n).
Statistics:
118 students sent a solution. 3 points: 112 students. 2 points: 4 students. 1 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008