Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4073. (March 2008)

B. 4073. Find all right-angled triangles, such that the sides are integers, and the sum of the legs is obtained by adding 6 to the hypotenuse.

(3 pont)

Deadline expired on April 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az átfogót c-vel, a befogókat a,b-vel jelölve a feltétel c+6=a+b, vagyis c2=(a+b-6)2. A zárójelet kibontva c2=a2+b2 figyelembevételével ezt így rendezhetjük: 2ab-12a-12b+36=0. 2-vel leosztva szorzattá alakítás után (a-6)(b-6)=18 adódik. A 18-at a következő hat módon lehet egész számok szorzatára felbontani:

18=1.18=2.9=3.6=(-1).(-18)=(-2).(-9)=(-3).(-6).

Mivel a-6 és b-6 értéke is legalább -5, csak az első három esetet kell megvizsgálnunk. Mivel a és b szerepe szimmetrikus, a szóba jövő befogópárok (7,24), (8,15) és (9,12). Ezek mindegyikéből kapunk is egy-egy megoldást, a megfelelő átfogók rendre 25, 17, illetve 15 lesznek.


Statistics:

163 students sent a solution.
3 points:106 students.
2 points:42 students.
1 point:9 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008