KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4076. (March 2008)

B. 4076. Lisa and Sam are playing the following game: Lisa marks a point L1 on side AB of a given triangle ABC. Then Sam chooses a point S on side BC. Finally, Lisa marks a point L2 on side CA. Lisa is trying to make the area of triangle L1SL2 as large as possible, and Sam is trying to make it as small as possible. What will be the area of triangle L1SL2 if both of them play as well as possible?

(4 pont)

Deadline expired on 15 April 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha N1=A, vagy N1=B akkor könnyű látni, hogy Kristóf a K pont C-hez, illetve B-hez elegendően közeli megválasztásával elérheti, hogy az N1KN2 háromszög területe 0-hoz tetszőlegesen közel legyen. Ha az N1 pont az AB oldalt \alpha:(1-\alpha) arányban osztja, ahol 0<\alpha<1, akkor a K pont azon választása mellett, mely a CB oldalt \alpha:(1-\alpha) arányban osztja, az N1KN2 háromszög területe éppen az ABC háromszög területének \alpha(1-\alpha)-szorosa lesz, bármi is legyen az N2 pont. Mivel \alpha(1-\alpha)\le1/4, az ABC háromszög területének egynegyédénél nagyobb érték nem érhető el.

Ez azonban el is érhető, ha Nóra N1-nek az AB oldal F felezőpontját választja, ekkor ugyanis Kristóf K-nak mindenképpen a CB oldal G felezőpontját fogja választani. Valóban, ha K a G-től a C irányába esne, akkor N2=A mellett az N1KN2=AKF háromszög területe nagyobb lenne az ABC háromszög területének egynegyédénél, ha pedig a B irányába esne, akkor az N2=C választással érhetné el Nóra ugyanezt.


Statistics:

74 students sent a solution.
4 points:51 students.
3 points:8 students.
2 points:9 students.
1 point:3 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley