KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4077. (March 2008)

B. 4077. Prove that if the vertices of a nonagon are all lattice points then it has three vertices, such that the centroid of the triangle formed by them is also a lattice point.

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha három csúcspont koordinátái A(a1;a2), B(b1;b2) és C(c1;c2), akkor az ABC háromszög súlypontjának koordinátái

S\Bigl(\frac{a_1+b_1+c_1}{3};\frac{a_2+b_2+c_2}{3}\Bigr).

Ez pontosan akkor lesz rácspont, ha a1,b1 és c1 vagy mind ugyanolyan, vagy páronként különböző maradékot adnak 3-mal osztva, és ugyanígy a második koordináták is hasonló tulajdonsággal bírnak. Rendeljük hozzá az X(x1;x2) rácsponthoz az (r1,r2) számpárt, ahol ri\in{0,1,2} jelöli az xi szám 3-mal való osztásnál keletkező maradékát. Ha a rácsszögnek van 3 olyan csúcsa, amelyhez ugyanazt a számpárt rendeltük, akkor a fentiek miatt az ezek által meghatározott háromszög súlypontja rácspont lesz.

Tegyük fel tehát, hogy nem ez a helyzet, vagyis minden számpárt legfeljebb 2 különböző csúcshoz rendeltük hozzá. Ekkor található 5 olyan csúcs, melyek mindegyikéhez más-más számpárt rendeltünk hozzá. Ha van három számpár, amelyben ugyanaz az első elem, akkor azokban a második elemek páronként különböznek, vagyis az ezekhez tartozó három csúcspont megfelelő lesz. Feltehető tehát, hogy a számpárok (a,p),(a,q),(b,r),(b,s) és (c,t), ahol {a,b,c}={0,1,2}. Egyszerű esetszétválasztással találunk ezek között három olyan számpárt, ahol vagy a második koordináták megegyeznek, vagy pedig a három számpár első és második koordinátái között is előfordul a 0,1,2 számok mindegyike. Ekkor ennek a három számpárnak megfelelő három csúcs által meghatározott háromszög súlypontja lesz rácspont.

Tegyük fel először, hogy p=r és q=s. Ha most t\in{p,q}, akkor találunk három számpárt, melyek mindegyikében t lesz a második koordináta, ha pedig t\not\in\{p,q\}, akkor az (a,p),(b,q),(c,t) számpárok első és második koordinátái is páronként különbözők. Ebben az esetben tehát készen vagyunk. Már csak azt az esetet kell megvizsgálnunk, amikor p=r de q\nes. Ekkor t=p esetén az (a,t),(b,t),(c,t) számpárok, t=q esetén az (a,p),(b,s),(c,q) számpárok, t=s esetén pedig az (a,q),(b,p),(c,s) számpárok alkotnak megfelelő hármast.


Statistics:

90 students sent a solution.
4 points:Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Bunth Gergely, Deák Zsolt, Dinh Hoangthanh Attila, Éles András, Énekes Péter, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gévay Gábor, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 729 Gergely, Kovács 999 Noémi, Lamm Éva, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Mészáros András, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Peregi Tamás, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Szigetvári Áron, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Wang Daqian, Weisz Ágoston, Zelena Réka, Zieger Milán.
3 points:16 students.
2 points:15 students.
1 point:18 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley