A B. 4077. feladat (2008. március)

B. 4077. Bizonyítsuk be, hogy bármely konvex rácskilencszögnek van három olyan csúcsa, amelyek által meghatározott háromszög súlypontja szintén rácspont.

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Ha három csúcspont koordinátái A(a₁;a₂), B(b₁;b₂) és C(c₁;c₂), akkor az ABC háromszög súlypontjának koordinátái

Ez pontosan akkor lesz rácspont, ha a₁,b₁ és c₁ vagy mind ugyanolyan, vagy páronként különböző maradékot adnak 3-mal osztva, és ugyanígy a második koordináták is hasonló tulajdonsággal bírnak. Rendeljük hozzá az X(x₁;x₂) rácsponthoz az (r₁,r₂) számpárt, ahol r_i{0,1,2} jelöli az x_i szám 3-mal való osztásnál keletkező maradékát. Ha a rácsszögnek van 3 olyan csúcsa, amelyhez ugyanazt a számpárt rendeltük, akkor a fentiek miatt az ezek által meghatározott háromszög súlypontja rácspont lesz.

Tegyük fel tehát, hogy nem ez a helyzet, vagyis minden számpárt legfeljebb 2 különböző csúcshoz rendeltük hozzá. Ekkor található 5 olyan csúcs, melyek mindegyikéhez más-más számpárt rendeltünk hozzá. Ha van három számpár, amelyben ugyanaz az első elem, akkor azokban a második elemek páronként különböznek, vagyis az ezekhez tartozó három csúcspont megfelelő lesz. Feltehető tehát, hogy a számpárok (a,p),(a,q),(b,r),(b,s) és (c,t), ahol {a,b,c}={0,1,2}. Egyszerű esetszétválasztással találunk ezek között három olyan számpárt, ahol vagy a második koordináták megegyeznek, vagy pedig a három számpár első és második koordinátái között is előfordul a 0,1,2 számok mindegyike. Ekkor ennek a három számpárnak megfelelő három csúcs által meghatározott háromszög súlypontja lesz rácspont.

Tegyük fel először, hogy p=r és q=s. Ha most t{p,q}, akkor találunk három számpárt, melyek mindegyikében t lesz a második koordináta, ha pedig , akkor az (a,p),(b,q),(c,t) számpárok első és második koordinátái is páronként különbözők. Ebben az esetben tehát készen vagyunk. Már csak azt az esetet kell megvizsgálnunk, amikor p=r de qs. Ekkor t=p esetén az (a,t),(b,t),(c,t) számpárok, t=q esetén az (a,p),(b,s),(c,q) számpárok, t=s esetén pedig az (a,q),(b,p),(c,s) számpárok alkotnak megfelelő hármast.

Statisztika:

90 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Bunth Gergely, Deák Zsolt, Dinh Hoangthanh Attila, Éles András, Énekes Péter, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gévay Gábor, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 729 Gergely, Kovács 999 Noémi, Lamm Éva, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Mészáros András, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Peregi Tamás, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Szigetvári Áron, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Wang Daqian, Weisz Ágoston, Zelena Réka, Zieger Milán.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2008. márciusi matematika feladatai