KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4080. Three points are selected at random on a circle, independently of each other. What is the probability that the resulting triangle is acute-angled?

(4 points)

Deadline expired on 15 April 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Tegyük fel egyszerűség kedvéért, hogy a kör kerülete egységnyi, és legyen A a körvonal egy rögzített pontja. Szimmetria okok miatt a keresett valószínűség megegyezik annak a valószínűségével, hogy ha egymástól függetlenűl egy B és egy C pontot kiválasztunk a körvonalon, akkor a kör O középpontja az ABC háromszög belsejébe esik. Ha az A,B pontok O-ra vonatkozó tükörképét A',B' jelöli, akkor ez azzal ekvivalens, hogy B\neA,A' és C a (rövidebbik) A'B' ív belső pontja.

Rögzítve egy körüljárási irányt, egy-egy értelmű megfeleltetést létesíthetünk az összes (B,C) pontpárok és a [0,1)×[0,1) egységnégyzet (b,c) pontjai között, ahol egy X pontra x jelöli az irányított AX ív hosszát. Azon feltételnek, mely szerint az ABC háromszög hegyesszögű, megfelelő (b,c) pontok halmazát az ábrán besatírozott rész szemlélteti, a határpontokat figyelmen kívül hagyva.

Mivel annak valószínűsége, hogy a P pont egy adott XY ívre esik, megegyezik az XY ív hosszával, a B,C pontok független választása miatt úgy érvelhetünk, hogy a keresett valószínűség megegyezik a besatírozott tartomány területével, ami 1/4-del egyenlő.


Statistics on problem B. 4080.
89 students sent a solution.
4 points:72 students.
3 points:7 students.
1 point:5 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley