Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4080. (March 2008)

B. 4080. Three points are selected at random on a circle, independently of each other. What is the probability that the resulting triangle is acute-angled?

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel egyszerűség kedvéért, hogy a kör kerülete egységnyi, és legyen A a körvonal egy rögzített pontja. Szimmetria okok miatt a keresett valószínűség megegyezik annak a valószínűségével, hogy ha egymástól függetlenűl egy B és egy C pontot kiválasztunk a körvonalon, akkor a kör O középpontja az ABC háromszög belsejébe esik. Ha az A,B pontok O-ra vonatkozó tükörképét A',B' jelöli, akkor ez azzal ekvivalens, hogy B\neA,A' és C a (rövidebbik) A'B' ív belső pontja.

Rögzítve egy körüljárási irányt, egy-egy értelmű megfeleltetést létesíthetünk az összes (B,C) pontpárok és a [0,1)×[0,1) egységnégyzet (b,c) pontjai között, ahol egy X pontra x jelöli az irányított AX ív hosszát. Azon feltételnek, mely szerint az ABC háromszög hegyesszögű, megfelelő (b,c) pontok halmazát az ábrán besatírozott rész szemlélteti, a határpontokat figyelmen kívül hagyva.

Mivel annak valószínűsége, hogy a P pont egy adott XY ívre esik, megegyezik az XY ív hosszával, a B,C pontok független választása miatt úgy érvelhetünk, hogy a keresett valószínűség megegyezik a besatírozott tartomány területével, ami 1/4-del egyenlő.


Statistics:

89 students sent a solution.
4 points:72 students.
3 points:7 students.
1 point:5 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008