KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4082. (April 2008)

B. 4082. The diagram shows a plane figure that cannot cover a unit semicircle but two congruent copies of the figure can cover a unit circle. Is there a convex figure that has the same property?

Kvant

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelöljük ki az egységsugarú körvonalon egy négyzet csúcsait, és annak két párhuzamos oldalával vágjunk le a körből egy-egy szeletet. A C egységkörből így megmaradó K síkidom konvex, hiszen előáll három konvex halmaz - a kör és két félsík - metszeteként. Ezen felül még szimmetrikus is a kör O középpontjára. A síkidomot O körül 90o-kal elforgatva, az eredeti és az elforgatott példány a kört lefedi. Csupán az eredeti példánnyal viszont nem lehet egy egységsugarú félkört lefedni. Ha ugyanis ez igaz lenne, akkor a lefedett F félkör átmérője a C körben is átmérő lenne, vagyis F-nek is O lenne a középpontja. Mivel K O-ra nézve szimmetrikus, K lefedné egyben F-nek O-ra vonatkozó tükörképét is, így az egész C kört is, ami viszont nem igaz. A K síkidom tehát rendelkezik a kívánt tulajdonsággal.


Statistics:

86 students sent a solution.
4 points:Angyal Levente, Aujeszky Tamás, Backhausz Tibor, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bunth Gergely, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Dinh Hoangthanh Attila, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gőgös Balázs, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Kalina Kende, Kiss 243 Réka, Kiss 542 Robin, Kiss 716 Eszter, Konkoly 001 Csaba, Márkus Bence, Mészáros András, Mezei Márk, Muszka Balázs, Müller Márk, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Palincza Richárd, Pap Máté, Perjési Gábor, Prok Tamás, Réti Dávid, Salát Zsófia, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szabó Tamás 492, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás, Török Lajos, Tubak Dániel, Varga 171 László, Wang Daqian, Weisz Ágoston.
3 points:7 students.
2 points:8 students.
1 point:1 student.
0 point:25 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley