Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4087. (April 2008)

B. 4087. Prove that if the lengths of the sides of a triangle are 2, 3 and 4 then it has angles \alpha and \beta, such that 2\alpha+3\beta=180o.

Suggested by Z. Varga, Siófok

(3 pont)

Deadline expired on May 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A 2, 3, illetve 4 hosszúságú oldalakkal szemben lévő szöget jelölje rendre \beta,\alpha és \gamma. Mivel ezek összege 180o, a bizonyítandó állítás ekvivalens azzal, hogy 180o+\beta=2\gamma. A koszinusz tétel alapján \cos\beta=\frac{21}{24}=\frac{7}{8} és \cos\gamma=\frac{-3}{12}=-\frac{1}{4}. Ezért \gamma tompaszög, vagyis 180o+\beta és 2\gamma is 180o és 360o közé esik. Ezen az intervallumon a koszinusz függvény szigorúan monoton nő, tehát a bizonyítandó állítás ekvivalens azzal, hogy cos (180o+\beta)=cos 2\gamma. A fentiek szerint azonban

\cos(180^\circ+\beta)=-\cos\beta=-\frac{7}{8}=\frac{2}{16}-1=
2\cos^2\gamma-1=\cos2\gamma.


Statistics:

112 students sent a solution.
3 points:Ágoston Tamás, Balázs Barbara Anna, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Deák Zsolt, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Dudás 002 Zsolt, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Fülep Csilla, Gele Viktória, Gőgös Balázs, Grósz Dániel, Gyurcsik Judit, Hursán Zsófia, Huszár Kristóf, Kalina Kende, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 729 Gergely, Lajos Mátyás, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Mester Márton, Mészáros András, Mihálykó Ágnes, Molnár Gabriella, Palincza Richárd, Peregi Tamás, Perjési Gábor, Réti Dávid, Salát Zsófia, Strenner Péter, Szalkai Balázs, Szenczi Zoltán, Szepesvári Dávid, Tóth Teodóra, Udvari Benjámin, Vajk Dóra, Varga 171 László, Varjú János, Vécsey Máté, Véges Márton, Zelena Réka.
2 points:58 students.
1 point:3 students.
0 point:6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2008