KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4089. (April 2008)

B. 4089. Solve the equation x4-7x3+13x2-7x+1=0.

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Mivel az egyenletnek x=0 nem gyöke, ekvivalens átalakítást hajtunk végre, ha x2-tel elosztjuk. Az y=x+\frac{1}{x} helyettesítéssel ezt y2-7y+11=0 alakra hozhatjuk, amelynek megoldásai y_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{5}}{2}. Ezért az eredeti egyenlet megoldásait az x2-y1x+1=0 és az x2-y2x+1=0 egyenletek megoldásai szolgáltatják. Mivel yi>2, mindkét egyenletnek két különböző valós gyöke van, nevezetesen

x_{1,2}=\frac{7+\sqrt{5}\pm\sqrt{38+14\sqrt{5}}}{4},\quad\hbox{\rm illetve}
\quad  x_{3,4}=\frac{7-\sqrt{5}\pm\sqrt{38-14\sqrt{5}}}{4}.


Statistics:

148 students sent a solution.
4 points:109 students.
3 points:33 students.
2 points:4 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley