KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4090. (April 2008)

B. 4090. The angle bisector f drawn from vertex A of an acute-angled triangle ABC intersects side BC at D and the circumscribed circle at E. The altitude drawn from C intersects f at M and the circumscribed circle at Q. The altitude drawn from B intersects f at N and the circumscribed circle at P. Prove that

\frac{BD}{DC} = \frac{PE \cdot AN \cdot ME}{QE
\cdot CM \cdot NP}.

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A szokásos jelöléseken túl még jelöljük \sigma-val, illetve \tau-val a PAE és a QAE szögeket. Ha a kör sugara R, akkor PE=2Rsin \sigma és QE=2Rsin \tau, vagyis

{PE\over QE}={\sin\sigma\over \sin\tau}.

Az APN háromszögben az NP oldallal szemközti szög \sigma, míg a kerületi szögek tétele miatt az AN oldallal szemközti APB szög \gamma. Ezért a szinusz tétel szerint

{AN\over NP}={\sin\gamma\over \sin\sigma}.

Mivel a CEM háromszög hasonló az AQM háromszöghöz, az előzőhöz hasonló módon

{ME\over CM}={MQ\over AM}={\sin\tau\over \sin\beta}.

Ezért

\frac{PE \cdot AN \cdot ME}{QE \cdot CM \cdot NP}=
{PE\over QE}\cdot {AN\over NP}\cdot {ME\over CM}=
\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}

a szögfelező tétel miatt.


Statistics:

47 students sent a solution.
4 points:Anda Roland, Angyal Levente, Balázs Barbara Anna, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Dinh Van Anh, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Gyurcsik Judit, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 729 Gergely, Kovács 999 Noémi, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Molnár 001 Anikó, Molnár Gabriella, Müller Márk, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Piller Éva, Somogyi Ákos, Szakács Enikő, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Welsz Edit, Zieger Milán, Zsupanek Alexandra.
3 points:Cséke Balázs, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Gőgös Balázs, Hursán Zsófia, Márki Róbert, Pasztuhov Anna, Szalkai Balázs, Tóth 369 László Márton, Zelena Réka.
2 points:1 student.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley