A B. 4092. feladat (2008. május)

B. 4092. Megadható-e négy pozitív egész szám úgy, hogy közülük bármely kettő legnagyobb közös osztója nagyobb mint 1, és bármely három legnagyobb közös osztója 1?

Javasolta: Szabó Péter

(3 pont)

A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Legyenek p,q,r,s,t,v különböző pozitív prímek, és tekintsük az a=pqs, b=prt, c=qrv, d=stv számokat. Az a,b,c számok közül semelyik kettő nem relatív prím, hiszen p közös prímosztója a-nak és b-nek, q közös prímosztója a-nak és c-nek, r pedig közös prímosztója b-nek és c-nek. Mivel d-nek is van közös prímosztója bármelyik másik számmal, bármely két szám legnagyobb közös osztója nagyobb mint 1. Másrészt a hat prím közül bármelyik pontosan két számnak osztója. Ezért semelyik három számnak nincs közös prímosztója, ami azt jelenti, hogy legnagyobb közös osztójuk 1.

Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	60 versenyző.
2 pontot kapott:	37 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2008. májusi matematika feladatai