Problem B. 4094.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4094. Is it possible to leave one out of the numbers $1, 2, \ldots, 2008$ so that the remaining 2007 numbers can be listed in an order $a_1, a_2, \ldots, a_{2007}$ , in which the differences ${|a_1-a_2|}, {|a_2-a_3|}, \ldots, {|a_{2006}-a_{2007}|}, {|a_{2007}-a_1|}$ are all different?

(4 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Megmutatjuk, hogy minden n=4k esetén az $1, 2, \ldots, 4k$ számok közül a k+1 elhagyása után fennmaradó n-1 számnak lesz olyan $a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}$ sorrendje, amelyben az $|a_1-a_2|, |a_2-a_3|, \ldots, |a_{n-2}-a_{n-1}|, |a_{n-1}-a_1|$ eltérések mind különbözőek. Valóban, tekintsük a számoknak az alábbi sorrendjét:

$1,4k,2,4k-1,\ldots k,3k+1, k+2,3k,k+3,3k-1,\ldots,2k,2k+2,2k+1,$

vagyis legyen 1 $\le$ i $\le$ k esetén a_2i-1=i, k+1 $\le$ i $\le$ 2k esetén legyen a_2i-1=i+1, végül 1 $\le$ i $\le$ 2k-1 esetén legyen a_2i=4k+1-i. Ekkor 1 $\le$ i $\le$ 2k-1 esetén |a_i-a_i+1|=4k-i, vagyis sorban a $4k-1,4k-2,\ldots,2k+1$ eltéréseket kapjuk, 2k $\le$ i $\le$ 4k-2 esetén |a_i-a_i+1|=4k-i-1, vagyis sorban a $2k-1,2k-2,\ldots,1$ eltéréseket kapjuk, végül |a_4k-1-a₁|=2k, ami tényleg 4k-1 darab különböző eltérést jelent.

Statistics on problem B. 4094.

34 students sent a solution.

4 points: Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 729 Gergely, Lajos Mátyás, Márki Róbert, Mezei Márk, Nagy 111 Miklós, Paripás Viktor, Perjési Gábor, Salát Zsófia, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Vuchetich Bálint.

3 points: Nagy 648 Donát.

2 points: 1 student.

1 point: 2 students.

0 point: 7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008

Our web pages are supported by:

ELTE