Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4094. (May 2008)

B. 4094. Is it possible to leave one out of the numbers 1, 2, \ldots, 2008 so that the remaining 2007 numbers can be listed in an order a_1, a_2, \ldots, a_{2007}, in which the differences {|a_1-a_2|}, {|a_2-a_3|}, \ldots, {|a_{2006}-a_{2007}|}, {|a_{2007}-a_1|} are all different?

(4 pont)

Deadline expired on June 16, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Megmutatjuk, hogy minden n=4k esetén az 1, 2, \ldots, 4k számok közül a k+1 elhagyása után fennmaradó n-1 számnak lesz olyan a_1, a_2, \ldots, a_{n-1} sorrendje, amelyben az |a_1-a_2|, |a_2-a_3|, \ldots, 
|a_{n-2}-a_{n-1}|, |a_{n-1}-a_1| eltérések mind különbözőek. Valóban, tekintsük a számoknak az alábbi sorrendjét:

1,4k,2,4k-1,\ldots k,3k+1, k+2,3k,k+3,3k-1,\ldots,2k,2k+2,2k+1,

vagyis legyen 1\lei\lek esetén a2i-1=i, k+1\lei\le2k esetén legyen a2i-1=i+1, végül 1\lei\le2k-1 esetén legyen a2i=4k+1-i. Ekkor 1\lei\le2k-1 esetén |ai-ai+1|=4k-i, vagyis sorban a 4k-1,4k-2,\ldots,2k+1 eltéréseket kapjuk, 2k\lei\le4k-2 esetén |ai-ai+1|=4k-i-1, vagyis sorban a 2k-1,2k-2,\ldots,1 eltéréseket kapjuk, végül |a4k-1-a1|=2k, ami tényleg 4k-1 darab különböző eltérést jelent.


Statistics:

34 students sent a solution.
4 points:Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 729 Gergely, Lajos Mátyás, Márki Róbert, Mezei Márk, Nagy 111 Miklós, Paripás Viktor, Perjési Gábor, Salát Zsófia, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Vuchetich Bálint.
3 points:Nagy 648 Donát.
2 points:1 student.
1 point:2 students.
0 point:7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008