Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4095. (May 2008)

B. 4095. Given infinitely many cuboids with edges parallel to the axes of the coordinate space, one vertex at the origin and all vertices at points of non-negative integer coordinates. Is it always possible to select two, one of which contains the other?

Javasolta: P. Maga

(5 pont)

Deadline expired on June 16, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Azt állítjuk, hogy egy egész végtelen sorozatot ki lehet választani úgy, hogy közülük bármelyik tartalmazza az összes megelőzőt. Ennek bizonyítása az alábbi észrevételen múlik: nemnegatív egész számok egy tetszőleges k_1,k_2,\ldots sorozatából kiválasztható egy k_{i_1},k_{i_2},\ldots részsorozat úgy, hogy k_1\le k_2\le \ldots teljesüljön. Ha a sorozatban van végtelen sok megegyező elem, akkor ez nyilvánvaló. Egyébként tegyük fel, hogy már kiválasztottunk egy véges k_{i_1}, k_{i_2},\ldots, k_{i_n} részsorozatot úgy, hogy k_{i_1}< k_{i_2}<\ldots< k_{i_n}. Mivel feltevésünk értelmében a k_{i_{n}+1},k_{i_{n}+2},\ldots számok között csak véges sok olyan lehet, amelyik nem nagyobb kin-nél, léteznie kell olyan in+1>in indexnek, amelyre kin+1>kin, vagyis a részsorozat folytatható.

Legyenek most adva T_1,T_2,\ldots tengelypárhuzamos téglatestek, amelyek egyik csúcsa az origó, és minden csúcs koordinátái nemnegatív egész számok. A Ti téglatest egyértelműen megadható az origóval szemközti csúcsával, melynek koordinátái legyenek (xi,yi,zi). Itt xi,yi,zi tehát nemnegatív egész számok. Ti pontosan akkor tartalmazza Tj-t, ha xi\gexj, yi\geyj és zi\gezj egyszerre teljesül. A fenti észrevétel értelmében létezik egy olyan a_1<a_2<\ldots indexsorozat, melyre x_{a_1}\le x_{a_2}\ldots teljesül. Ebből az indexsorozatból kiválasztható egy olyan b_1<b_2<\ldots indexsorozat, amelyre y_{b_1}\le y_{b_2}\le \ldots is teljesül. Végül ebből kiválaszthatunk egy c_1<c_2<\ldots indexsorozatot, amelyre z_{c_1}\le z_{c_2}\le\ldots is fennáll. Ekkor pedig a téglák T_{c_1},T_{c_2},\ldots részsorozatára teljesülni fog bármely i<j esetén, hogy xci\lexcj, yci\leycj és zci\lezcj, vagyis a Tcj téglatest tartalmazza a Tci téglát.


Statistics:

56 students sent a solution.
5 points:Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bálint Dániel, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Deák Zsolt, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gévay Gábor, Gőgös Balázs, Grósz Dániel, Hursán Zsófia, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 999 Noémi, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Orosz Ákos, Perjési Gábor, Prok Tamás, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Zieger Milán.
4 points:Wang Daqian.
3 points:1 student.
2 points:2 students.
1 point:2 students.
0 point:11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008