Problem B. 4096. (May 2008)
B. 4096. The points of tangency of the inscribed circle on the sides of a triangle ABC are E, F and G. The distances of an arbitrary point P of the inscribed circle from the sides are a, b and c, and its distances from the lines FG, EG and EF are e, f and g. Prove that abc=efg.
(4 pont)
Deadline expired on June 16, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Ha P egybeesik az E,F,G pontok valamelyikével, akkor mindkét szorzat 0, egyébként pedig az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy E a BC, F az AC, G pedig az AB oldalon helyezkedik el, valamint hogy a P pont az ábra szerint az FG ívre esik. Ekkor egyrészt a=EP.sin PEC, b=FP.sin PFA és
c=GP.sin PGB=GP.sin PGA,
másrészről e=FP.sin PFG, f=GP.sin PGE és g=EP.sin PEF. Mivel a kerületi szögek tétele szerint PFG=PGA, PGE=PEC és PEF=PFA, a bizonyítandó állítást közvetlen beszorzással ellenőrizhetjük.
Statistics:
9 students sent a solution. 4 points: Éles András, Hursán Zsófia, Huszár Kristóf, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Perjési Gábor, Varga 171 László, Zieger Milán.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008