KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4096. (May 2008)

B. 4096. The points of tangency of the inscribed circle on the sides of a triangle ABC are E, F and G. The distances of an arbitrary point P of the inscribed circle from the sides are a, b and c, and its distances from the lines FG, EG and EF are e, f and g. Prove that abc=efg.

(4 pont)

Deadline expired on 16 June 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha P egybeesik az E,F,G pontok valamelyikével, akkor mindkét szorzat 0, egyébként pedig az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy E a BC, F az AC, G pedig az AB oldalon helyezkedik el, valamint hogy a P pont az ábra szerint az FG ívre esik. Ekkor egyrészt a=EP.sin PEC\angle, b=FP.sin PFA\angle és

c=GP.sin PGB\angle=GP.sin PGA\angle,

másrészről e=FP.sin PFG\angle, f=GP.sin PGE\angle és g=EP.sin PEF\angle. Mivel a kerületi szögek tétele szerint PFG\angle=PGA\angle, PGE\angle=PEC\angle és PEF\angle=PFA\angle, a bizonyítandó állítást közvetlen beszorzással ellenőrizhetjük.


Statistics:

9 students sent a solution.
4 points:Éles András, Hursán Zsófia, Huszár Kristóf, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Perjési Gábor, Varga 171 László, Zieger Milán.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley