Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4096. feladat (2008. május)

B. 4096. Az ABC háromszög oldalainak a beírt kört érintő pontjai legyenek E, F és G. A beírt kör egy tetszőleges P pontjának a háromszög oldalegyeneseitől mért távolsága a, b és c, az FG, EG és EF egyenesektől mért távolsága pedig e, f és g. Igazoljuk, hogy abc=efg.

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Ha P egybeesik az E,F,G pontok valamelyikével, akkor mindkét szorzat 0, egyébként pedig az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy E a BC, F az AC, G pedig az AB oldalon helyezkedik el, valamint hogy a P pont az ábra szerint az FG ívre esik. Ekkor egyrészt a=EP.sin PEC\angle, b=FP.sin PFA\angle és

c=GP.sin PGB\angle=GP.sin PGA\angle,

másrészről e=FP.sin PFG\angle, f=GP.sin PGE\angle és g=EP.sin PEF\angle. Mivel a kerületi szögek tétele szerint PFG\angle=PGA\angle, PGE\angle=PEC\angle és PEF\angle=PFA\angle, a bizonyítandó állítást közvetlen beszorzással ellenőrizhetjük.

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Éles András, Hursán Zsófia, Huszár Kristóf, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Perjési Gábor, Varga 171 László, Zieger Milán.

A KöMaL 2008. májusi matematika feladatai