Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4097. (May 2008)

B. 4097. Solve the following equation on the set of integers: 2^{\frac{x-y}{y}} - \frac{3}{2}y = 1.

(4 pont)

Deadline expired on June 16, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Nyilván y nem lehet 0. 2-vel való beszorzás és átrendezés után az egyenletet 2x/y=3y+2=z alakra hozhatjuk, ahol z (pozitív) egész szám. Innen azt kapjuk, hogy y is pozitív egész, és 2x=zy. A számelmélet alaptétele miatt z 2-hatvány, x pedig olyan pozitív egész, amely osztható y-nal. Mivel 2-nek páros kitevős hatványai 3-mal osztva 1, páratlan kitevős hatványai pedig 3-mal osztva 2 maradékot adnak, x/y páratlan szám. Lévén z\ge5, kapjuk, hogy x=(2k+1)y alkalmas k pozitív egész számmal, ahonnan

y=\frac{2^{2k+1}-2}{3}=\frac{2(4^k-1)}{3} \quad \hbox{\rm \'es}\quad 
x=\frac{(4k+2)(4^k-1)}{3}.

Könnyen látható, hogy így minden k pozitív egészre egy megfelelő számpárt kapunk.


Statistics:

107 students sent a solution.
4 points:83 students.
3 points:12 students.
2 points:6 students.
1 point:2 students.
0 point:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008