KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4100. (May 2008)

B. 4100. Determine the number of sections the plane is divided by the sides of a regular n-gon.

(4 pont)

Deadline expired on June 16, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Helyezzük el az oldalegyeneseket egymás után a síkon, figyelemmel kísérve azt, hogy az általuk meghatározott tartományok száma hogyan változik. Kezdetben ez a szám 1, ami az első egyenes elhelyezése után 1-gyel nő. Amikor egy-egy új egyenest elhelyezünk, akkor a tartományok száma (k+1)-gyel nő, ahol k azon, már korábban elhelyezett egyenesek száma, amelyeket az éppen elhelyezett egyenes elmetsz. Ez azért van így, mert egy konvex sokszög oldalegyenesei közül semelyik három nem megy át egy ponton.

Ha n páratlan, akkor az oldalegyenesek közül semelyik kettő nem párhuzamos egymással, ezért az i-edik egyenes elhelyezése alkalmával a tartományok száma pontosan i-vel nő, vagyis az összes egyenes elhelyezése után a tartományok száma

1+(1+2+3+\ldots+n)=\frac{n^2+n+2}{2}

lesz, ennyi részre osztják tehát a szabályos n-szög oldalegyenesei a síkot.

Páros n esetén más a helyzet. Legyen n=2k, és először helyezzük el valamilyen körüljárás szerint az első k oldalegyenest. Mivel ezek közül semelyik kettő nem párhuzamos egymással, az ezután létrejövő tartományok száma 1+(1+2+\ldots+ k) lesz. Ezt követően azonban bármelyik egyenest is helyezzük el, az a korábban elhelyezettek közül pontosan eggyel lesz párhuzamos. Ebben az esetben tehát az egyenesek összesen

1+(1+2+\ldots+k)+(k+\ldots +2k-1)=1+k\cdot2k=\frac{n^2+2}{2}

részre fogják osztani a síkot.


Statistics:

64 students sent a solution.
4 points:51 students.
3 points:5 students.
2 points:3 students.
1 point:3 students.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley