Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4100. (May 2008)

B. 4100. Determine the number of sections the plane is divided by the sides of a regular n-gon.

(4 pont)

Deadline expired on June 16, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Helyezzük el az oldalegyeneseket egymás után a síkon, figyelemmel kísérve azt, hogy az általuk meghatározott tartományok száma hogyan változik. Kezdetben ez a szám 1, ami az első egyenes elhelyezése után 1-gyel nő. Amikor egy-egy új egyenest elhelyezünk, akkor a tartományok száma (k+1)-gyel nő, ahol k azon, már korábban elhelyezett egyenesek száma, amelyeket az éppen elhelyezett egyenes elmetsz. Ez azért van így, mert egy konvex sokszög oldalegyenesei közül semelyik három nem megy át egy ponton.

Ha n páratlan, akkor az oldalegyenesek közül semelyik kettő nem párhuzamos egymással, ezért az i-edik egyenes elhelyezése alkalmával a tartományok száma pontosan i-vel nő, vagyis az összes egyenes elhelyezése után a tartományok száma

1+(1+2+3+\ldots+n)=\frac{n^2+n+2}{2}

lesz, ennyi részre osztják tehát a szabályos n-szög oldalegyenesei a síkot.

Páros n esetén más a helyzet. Legyen n=2k, és először helyezzük el valamilyen körüljárás szerint az első k oldalegyenest. Mivel ezek közül semelyik kettő nem párhuzamos egymással, az ezután létrejövő tartományok száma 1+(1+2+\ldots+ k) lesz. Ezt követően azonban bármelyik egyenest is helyezzük el, az a korábban elhelyezettek közül pontosan eggyel lesz párhuzamos. Ebben az esetben tehát az egyenesek összesen

1+(1+2+\ldots+k)+(k+\ldots +2k-1)=1+k\cdot2k=\frac{n^2+2}{2}

részre fogják osztani a síkot.


Statistics:

64 students sent a solution.
4 points:51 students.
3 points:5 students.
2 points:3 students.
1 point:3 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008