KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4101. (May 2008)

B. 4101. Assume xyz=8. Prove that \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}>1.

(5 pont)

Deadline expired on 16 June 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Nyilván feltehetjük, hogy 0<x\ley\lez. Ha y\le \sqrt{2}, akkor

\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}>
\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+0>1.

Legyen tehát z\ge y>\sqrt{2}. Megmutatjuk, hogy ekkor y-t és z-t egyaránt a mértani közepükkel helyettesítve az egyenlőtlenség baloldalán álló kifejezés értéke nem nőhet meg. Az y=eb, z=ec helyettesítéssel ezt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy b,c>\ln\sqrt{2} esetén

\frac{1}{\sqrt{e^{2b}+1}}+\frac{1}{\sqrt{e^{2c}+1}}\ge 2
\frac{1}{\sqrt{e^{b+c}+1}},

amihez elegendő azt megmutatni, hogy a (\ln\sqrt{2},\infty) intervallumban az f(u)=\frac{1}{\sqrt{e^{2u}+1}} függvény alulról konvex. Ez valóban így van: a fenti intervallumban az f(u)=(e2u+1)-1/2 függvény kétszer differenciálható, és

f'(u)=-\frac{1}{2}(2e^{2u})(e^{2u}+1)^{-3/2}=-e^{2u}(e^{2u}+1)^{-3/2},

f''(u)=3e4u(e2u+1)-5/2-2e2u(e2u+1)-3/2.

Vagyis f''(u)>0 pontosan akkor, ha 3e2u>2(e2u+1), azaz e2u>2.

A fentiek alapján tehát elegendő annyit megmutatni, hogy 0<x\le \root{3}\of{8} esetén

\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+2\frac{1}{\sqrt{\frac{8}{x}+1}}>1.

A nevezőkkel való felszorzás, négyzetreemelés és rendezés után látható, hogy a

4\cdot{\sqrt{x^2+1}}\cdot{\sqrt{\frac{8}{x}+1}}>-3x^2+8x-4

egyenlőtlenséget kell igazolnunk. Ez viszont nyilvánvalóan teljesül, hiszen minden pozitív x-re a baloldali kifejezés 4-nél nagyobb, a jobboldali pedig 4-nél kisebb.

Megjegyzés: Az xyz=8 feltétel lényegesen gyengíthető. Ugyan a részletek komplikáltabbak, a fentihez hasonló gondolatmenettel megmutatható, hogy az állítás minden 0<xyz<16\sqrt{2} esetén érvényben marad (xyz\ge 16\sqrt{2} esetén azonban már nem).


Statistics:

37 students sent a solution.
5 points:Aujeszky Tamás, Balázs Barbara Anna, Bartha Zsolt, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Fukker Gábor, Hursán Zsófia, Huszár Kristóf, Kiss 243 Réka, Kovács 729 Gergely, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Weisz Ágoston, Zelena Réka, Zieger Milán.
3 points:3 students.
0 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley