Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4101. (May 2008)

B. 4101. Assume xyz=8. Prove that \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}>1.

(5 pont)

Deadline expired on June 16, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Nyilván feltehetjük, hogy 0<x\ley\lez. Ha y\le \sqrt{2}, akkor

\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}>
\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+0>1.

Legyen tehát z\ge y>\sqrt{2}. Megmutatjuk, hogy ekkor y-t és z-t egyaránt a mértani közepükkel helyettesítve az egyenlőtlenség baloldalán álló kifejezés értéke nem nőhet meg. Az y=eb, z=ec helyettesítéssel ezt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy b,c>\ln\sqrt{2} esetén

\frac{1}{\sqrt{e^{2b}+1}}+\frac{1}{\sqrt{e^{2c}+1}}\ge 2
\frac{1}{\sqrt{e^{b+c}+1}},

amihez elegendő azt megmutatni, hogy a (\ln\sqrt{2},\infty) intervallumban az f(u)=\frac{1}{\sqrt{e^{2u}+1}} függvény alulról konvex. Ez valóban így van: a fenti intervallumban az f(u)=(e2u+1)-1/2 függvény kétszer differenciálható, és

f'(u)=-\frac{1}{2}(2e^{2u})(e^{2u}+1)^{-3/2}=-e^{2u}(e^{2u}+1)^{-3/2},

f''(u)=3e4u(e2u+1)-5/2-2e2u(e2u+1)-3/2.

Vagyis f''(u)>0 pontosan akkor, ha 3e2u>2(e2u+1), azaz e2u>2.

A fentiek alapján tehát elegendő annyit megmutatni, hogy 0<x\le \root{3}\of{8} esetén

\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+2\frac{1}{\sqrt{\frac{8}{x}+1}}>1.

A nevezőkkel való felszorzás, négyzetreemelés és rendezés után látható, hogy a

4\cdot{\sqrt{x^2+1}}\cdot{\sqrt{\frac{8}{x}+1}}>-3x^2+8x-4

egyenlőtlenséget kell igazolnunk. Ez viszont nyilvánvalóan teljesül, hiszen minden pozitív x-re a baloldali kifejezés 4-nél nagyobb, a jobboldali pedig 4-nél kisebb.

Megjegyzés: Az xyz=8 feltétel lényegesen gyengíthető. Ugyan a részletek komplikáltabbak, a fentihez hasonló gondolatmenettel megmutatható, hogy az állítás minden 0<xyz<16\sqrt{2} esetén érvényben marad (xyz\ge 16\sqrt{2} esetén azonban már nem).


Statistics:

37 students sent a solution.
5 points:Aujeszky Tamás, Balázs Barbara Anna, Bartha Zsolt, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Fukker Gábor, Hursán Zsófia, Huszár Kristóf, Kiss 243 Réka, Kovács 729 Gergely, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Weisz Ágoston, Zelena Réka, Zieger Milán.
3 points:3 students.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008