Problem B. 4103. (September 2008)
B. 4103. On sides BC and CD of a given rectangle ABCD, construct the points P and Q, such that ABPQ forms a kite that is symmetrical to the diagonal AP.
(3 pont)
Deadline expired on October 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Legyen AB=CD=a, BC=DA=b. A feltétel miatt AQ=AB=a, vagyis a Q pontot úgy kapjuk, hogy a CD szakaszt elmetsszük az A középpontú a sugarú körvonallal, a P pont pedig a BAQ szög felezőjének a BC szakasszal alkotott metszéspontja kell legyen. Ha a szerkesztés elvégezhető, akkor így valóban a feladat megoldását kapjuk.
Megmutatjuk, hogy ez pontosan akkor lehetséges, ha ab, mely esetben a megoldás egyértelmű lesz. Ha a<b, akkor a fenti körvonal egyáltalán nem metszi a CD egyenest, tehát nincsen megoldás. Ha a=b, akkor az eljárásból Q=D, P=C adódik. Tegyük fel végül, hogy a>b. A körvonal a DC egyenest két pontban metszi, melyek közül pontosan egy esik a CD szakaszra, ez lesz tehát a Q pont. Ellenőrizzük, hogy QC<CB. Valóban, b<a miatt 2b2<2ab, a2-2ab+b2<a2-b2, , vagyis
Ha egy elképzelt P pontot a CB oldalon C-ből B-be mozgatunk, akkor a QP távolság szigorúan monoton nő, PB pedig csökken, vagyis pontosan egy olyan helyzet lesz, amikor PQ=PB, ez kell legyen az a pont, amelyet a fenti szerkesztési eljárás szolgáltat.
Statistics:
273 students sent a solution. 3 points: 141 students. 2 points: 117 students. 1 point: 10 students. 0 point: 5 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008