KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4103. (September 2008)

B. 4103. On sides BC and CD of a given rectangle ABCD, construct the points P and Q, such that ABPQ forms a kite that is symmetrical to the diagonal AP.

(3 pont)

Deadline expired on October 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen AB=CD=a, BC=DA=b. A feltétel miatt AQ=AB=a, vagyis a Q pontot úgy kapjuk, hogy a CD szakaszt elmetsszük az A középpontú a sugarú körvonallal, a P pont pedig a BAQ szög felezőjének a BC szakasszal alkotott metszéspontja kell legyen. Ha a szerkesztés elvégezhető, akkor így valóban a feladat megoldását kapjuk.

Megmutatjuk, hogy ez pontosan akkor lehetséges, ha a\geb, mely esetben a megoldás egyértelmű lesz. Ha a<b, akkor a fenti körvonal egyáltalán nem metszi a CD egyenest, tehát nincsen megoldás. Ha a=b, akkor az eljárásból Q=D, P=C adódik. Tegyük fel végül, hogy a>b. A körvonal a DC egyenest két pontban metszi, melyek közül pontosan egy esik a CD szakaszra, ez lesz tehát a Q pont. Ellenőrizzük, hogy QC<CB. Valóban, b<a miatt 2b2<2ab, a2-2ab+b2<a2-b2, a-b<\sqrt{a^2-b^2}, vagyis

QC=a-DQ=a-\sqrt{a^2-b^2}<b=CB.

Ha egy elképzelt P pontot a CB oldalon C-ből B-be mozgatunk, akkor a QP távolság szigorúan monoton nő, PB pedig csökken, vagyis pontosan egy olyan helyzet lesz, amikor PQ=PB, ez kell legyen az a pont, amelyet a fenti szerkesztési eljárás szolgáltat.


Statistics:

274 students sent a solution.
3 points:142 students.
2 points:117 students.
1 point:10 students.
0 point:5 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley