Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4105. (September 2008)

B. 4105. Point A moves along one arm of an angle of vertex C and point B moves along the other arm so that CA+CB=1 remains valid. Prove that there exists a point that lies on the perpendicular bisectors of AB in all positions.

(4 pont)

Deadline expired on October 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az A, illetve B pont C-től legtávolabb eső helyzetét a megfelelő szögszáron jelölje A0 és B0, ekkor CA0=CB0=1. Az A0CB0 háromszög köré írható kör középpontját jelölje O, ez éppen a CA0 és CB0 szakaszok felező merőlegeseinek metszéspontja. Ha létezik az állításnak megfelelő pont, az nem lehet más, mint az O pont.

Mivel A0OC és COB0 egybevágó egyenlőszárú háromszögek, az előbbi egy O körüli \varphi forgatással átvihető az utóbbiba. Ez a forgatás tehát az A0C szakaszt a CB0 szakaszba viszi. Ha CA+CB=1, akkor B0B=1-BC=CA, vagyis a \varphi forgatás az A pontot éppen B-be viszi, ezért OA=OB, vagyis O valóban rajta van az AB szakasz felező merőlegesén.


Statistics:

125 students sent a solution.
4 points:86 students.
3 points:13 students.
2 points:11 students.
1 point:3 students.
0 point:12 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008