KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4105. (September 2008)

B. 4105. Point A moves along one arm of an angle of vertex C and point B moves along the other arm so that CA+CB=1 remains valid. Prove that there exists a point that lies on the perpendicular bisectors of AB in all positions.

(4 pont)

Deadline expired on 15 October 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az A, illetve B pont C-től legtávolabb eső helyzetét a megfelelő szögszáron jelölje A0 és B0, ekkor CA0=CB0=1. Az A0CB0 háromszög köré írható kör középpontját jelölje O, ez éppen a CA0 és CB0 szakaszok felező merőlegeseinek metszéspontja. Ha létezik az állításnak megfelelő pont, az nem lehet más, mint az O pont.

Mivel A0OC és COB0 egybevágó egyenlőszárú háromszögek, az előbbi egy O körüli \varphi forgatással átvihető az utóbbiba. Ez a forgatás tehát az A0C szakaszt a CB0 szakaszba viszi. Ha CA+CB=1, akkor B0B=1-BC=CA, vagyis a \varphi forgatás az A pontot éppen B-be viszi, ezért OA=OB, vagyis O valóban rajta van az AB szakasz felező merőlegesén.


Statistics:

125 students sent a solution.
4 points:86 students.
3 points:13 students.
2 points:11 students.
1 point:3 students.
0 point:12 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley