Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4107. (September 2008)

B. 4107. Solve the following simultaneous equations on the set of positive numbers:

x4+y4-x2y2=13,

x2-y2+2xy=1.

(4 pont)

Deadline expired on October 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A második egyenletből adódó x2-y2=1-2xy összefüggést négyzetre emelve kapjuk, hogy x4+y4-2x2y2=4x2y2-4xy+1. Ezt az első egyenletből kivonva az 5x2y2-4xy-12=0 összefüggést nyerjük. Az xy-ra kapott másodfokú egyenlet gyökei xy=2, illetve xy=-6/5, mely utóbbi xy>0 miatt nem jöhet szóba. A x2=u, y2=v helyettesítéssel tehát u2+v2=17 és u-v=-3. Innen u=v-3, vagyis (v-3)2+v2=17, 2v2-6v-8=0, tehát v lehetséges értékei 4 és -1, mely utóbbi v=y2>0 miatt nem jöhet szóba. Ezért y2=v=4 és x2=u=1, ahonnan x=1 és y=2 adódik, mely számpár az egyenletrendszert valóban ki is elégíti.


Statistics:

222 students sent a solution.
4 points:157 students.
3 points:30 students.
2 points:20 students.
1 point:8 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008