KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4107. (September 2008)

B. 4107. Solve the following simultaneous equations on the set of positive numbers:

x4+y4-x2y2=13,

x2-y2+2xy=1.

(4 pont)

Deadline expired on 15 October 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A második egyenletből adódó x2-y2=1-2xy összefüggést négyzetre emelve kapjuk, hogy x4+y4-2x2y2=4x2y2-4xy+1. Ezt az első egyenletből kivonva az 5x2y2-4xy-12=0 összefüggést nyerjük. Az xy-ra kapott másodfokú egyenlet gyökei xy=2, illetve xy=-6/5, mely utóbbi xy>0 miatt nem jöhet szóba. A x2=u, y2=v helyettesítéssel tehát u2+v2=17 és u-v=-3. Innen u=v-3, vagyis (v-3)2+v2=17, 2v2-6v-8=0, tehát v lehetséges értékei 4 és -1, mely utóbbi v=y2>0 miatt nem jöhet szóba. Ezért y2=v=4 és x2=u=1, ahonnan x=1 és y=2 adódik, mely számpár az egyenletrendszert valóban ki is elégíti.


Statistics:

>
222 students sent a solution.
4 points:157 students.
3 points:30 students.
2 points:20 students.
1 point:8 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley