Problem B. 4107. (September 2008)

B. 4107. Solve the following simultaneous equations on the set of positive numbers:

x⁴+y⁴-x²y²=13,

x²-y²+2xy=1.

(4 pont)

Deadline expired on October 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A második egyenletből adódó x²-y²=1-2xy összefüggést négyzetre emelve kapjuk, hogy x⁴+y⁴-2x²y²=4x²y²-4xy+1. Ezt az első egyenletből kivonva az 5x²y²-4xy-12=0 összefüggést nyerjük. Az xy-ra kapott másodfokú egyenlet gyökei xy=2, illetve xy=-6/5, mely utóbbi xy>0 miatt nem jöhet szóba. A x²=u, y²=v helyettesítéssel tehát u²+v²=17 és u-v=-3. Innen u=v-3, vagyis (v-3)²+v²=17, 2v²-6v-8=0, tehát v lehetséges értékei 4 és -1, mely utóbbi v=y²>0 miatt nem jöhet szóba. Ezért y²=v=4 és x²=u=1, ahonnan x=1 és y=2 adódik, mely számpár az egyenletrendszert valóban ki is elégíti.

Statistics:

221 students sent a solution.
4 points:	156 students.
3 points:	30 students.
2 points:	20 students.
1 point:	8 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008