B. 4107. Solve the following simultaneous equations on the set of positive numbers:

x⁴+y⁴-x²y²=13,

x²-y²+2xy=1.

(4 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: A második egyenletből adódó x²-y²=1-2xy összefüggést négyzetre emelve kapjuk, hogy x⁴+y⁴-2x²y²=4x²y²-4xy+1. Ezt az első egyenletből kivonva az 5x²y²-4xy-12=0 összefüggést nyerjük. Az xy-ra kapott másodfokú egyenlet gyökei xy=2, illetve xy=-6/5, mely utóbbi xy>0 miatt nem jöhet szóba. A x²=u, y²=v helyettesítéssel tehát u²+v²=17 és u-v=-3. Innen u=v-3, vagyis (v-3)²+v²=17, 2v²-6v-8=0, tehát v lehetséges értékei 4 és -1, mely utóbbi v=y²>0 miatt nem jöhet szóba. Ezért y²=v=4 és x²=u=1, ahonnan x=1 és y=2 adódik, mely számpár az egyenletrendszert valóban ki is elégíti.

Statistics on problem B. 4107. 222 students sent a solution. 4 points: 157 students. 3 points: 30 students. 2 points: 20 students. 1 point: 8 students. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 2 solutions.