KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Competitions Portal

B. 4107. Solve the following simultaneous equations on the set of positive numbers:

x4+y4-x2y2=13,

x2-y2+2xy=1.

(4 points)

Deadline expired on 15 October 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: A második egyenletből adódó x2-y2=1-2xy összefüggést négyzetre emelve kapjuk, hogy x4+y4-2x2y2=4x2y2-4xy+1. Ezt az első egyenletből kivonva az 5x2y2-4xy-12=0 összefüggést nyerjük. Az xy-ra kapott másodfokú egyenlet gyökei xy=2, illetve xy=-6/5, mely utóbbi xy>0 miatt nem jöhet szóba. A x2=u, y2=v helyettesítéssel tehát u2+v2=17 és u-v=-3. Innen u=v-3, vagyis (v-3)2+v2=17, 2v2-6v-8=0, tehát v lehetséges értékei 4 és -1, mely utóbbi v=y2>0 miatt nem jöhet szóba. Ezért y2=v=4 és x2=u=1, ahonnan x=1 és y=2 adódik, mely számpár az egyenletrendszert valóban ki is elégíti.


Statistics on problem B. 4107.
222 students sent a solution.
4 points:157 students.
3 points:30 students.
2 points:20 students.
1 point:8 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008

  • Our web pages are supported by:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi ErőforrĂĄs TĂĄmogatĂĄskezelő   Emberi ErőforrĂĄsok MinisztĂŠriuma  
    OktatĂĄskutatĂł ĂŠs Fejlesztő IntĂŠzet   Nemzeti TehetsĂŠg Program     Nemzeti
KulturĂĄlis Alap   ELTE   Morgan Stanley