Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4108. (September 2008)

B. 4108. The angle bisectors of a triangle intersect the circumscribed circle at the points P, QR. Given the points P, Q, R, construct the triangle.

(4 pont)

Deadline expired on October 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Képzeljük el a háromszöget megszerkesztettnek. A háromszög A,B,C csúcsai és a P,Q,R pontok a háromszög köré írt kört hat ívre osztják fel az ábrán látható módon. A háromszög szögeit a szokásos módon jelölve a kerületi és középponti szögek közötti összegfüggés alapján mindegyik ívre meghatározhatjuk, hogy a kör O középpontjából mekkora szög alatt látszik.

Mivel a PQ,QR,RP ívek mindegyike 180o-nál kisebb szög alatt látszik, a feladatnak csak akkor lehet megoldása, ha a P,Q,R pontok egy hegyesszögű háromszöget határoznak meg. Megmutatjuk, hogy ez esetben a feladatnak pontosan egy megoldása van. Vegyük észre, hogy ha az \alpha+\beta/2+\gamma/2 nagyságú QAR szögből kivonjuk a \beta/2+\gamma/2 nagyságú RPQ szöget, akkor éppen az \alpha szöget kapjuk. Mivel a QAR és RPQ szögek egymást 180o-ra egészítik ki, az \alpha szöget úgy kaphatjuk meg, hogy az egyenesszögből kivonjuk az RPQ szög kétszeresét (más szóval az ROQ szöget), ez pedig a C csúcs helyzetét egyértelműen meghatározza. Kell még látnunk, hogy az így kapott C pont a PQ ívre esik, vagy ami ezzel egyenértékű, hogy

\frac{\alpha}{2}=90^\circ-RPQ\angle<QRP\angle.

Ez viszont azonnal következik abból, hogy a PQR háromszög hegyesszögű.

A leírtak alapján tehát az A,B,C pontokat a következő módon szerkeszthetjük meg. Először megszerkesztjük a PQR háromszög köré írható k kört és annak O középpontját. Ezek után az OP félegyenesre, mint szögszárra, a PQR forgásiránnyal megegyező módon felmérjük az ROQ szög kiegészítő szögét. Ezen szög másik szára metszi ki a k körből a C csúcsot. Ugyanezt az eljárást a P,Q,R pontok megfelelő ciklikus permutációja esetén is elvégezve az A és B csúcsokat is egyértelműen megszerkeszthetjük, és egyszerűen meggondolható, hogy így valóban a feladat megoldását kapjuk.


Statistics:

167 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Bányi Máté, Bencskó György Árpád, Blázsik Zoltán, Cséke Balázs, Deák Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Kószó Simon, Kovács 235 Gábor, Kovács 888 Adrienn, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mészáros András, Pósfai Balázs, Roberts Vivienne, Somogyi Ákos, Székely Eszter, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zsakó András.
3 points:102 students.
2 points:13 students.
1 point:12 students.
0 point:16 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008