Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4111. (September 2008)

B. 4111. Let n be a positive integer, and let a1,a2,...,an be pairwise different integers. Prove that the polynomial (x-a_1)(x-a_2) \ldots (x-a_n)-1 cannot be expressed as a product of two polynomials of integer coefficients whose degrees are at least one.

(5 pont)

Deadline expired on October 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben léteznek olyan p,q legalább elsőfokú egész együtthatós polinomok, melyekre

f(x)=(x-a_1)(x-a_2) \ldots (x-a_n)-1=p(x)\cdot q(x).

Ekkor minden 1\lei\len esetén p(ai).q(ai)=-1. Mivel p(ai) és q(ai) egész számok, ez azt jelenti, hogy közülük az egyik 1-gyel, a másik pedig -1-gyel egyenlő. Mindenképpen igaz tehát, hogy p(ai)+q(ai)=0. Mivel p és q foka is legfeljebb n-1, p+q olyan legfeljebb (n-1)-edfokú polinom, amelynek van n darab különböző gyöke. Ez csak úgy lehet, hogy p+q=0, vagyis q=-p, f=-p2. Ez azonban nem lehetséges, hiszen f főegyütthatója 1, a -p2 polinomé pedig nyilván negatív.


Statistics:

42 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csizmadia Luca, Csuka Barna, Éles András, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Kispéter Tamás, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Réti Dávid, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston.
4 points:Kovács 125 András, Nagy 111 Miklós.
3 points:3 students.
2 points:9 students.
1 point:8 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008