KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4111. (September 2008)

B. 4111. Let n be a positive integer, and let a1,a2,...,an be pairwise different integers. Prove that the polynomial (x-a_1)(x-a_2) \ldots (x-a_n)-1 cannot be expressed as a product of two polynomials of integer coefficients whose degrees are at least one.

(5 pont)

Deadline expired on 15 October 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben léteznek olyan p,q legalább elsőfokú egész együtthatós polinomok, melyekre

f(x)=(x-a_1)(x-a_2) \ldots (x-a_n)-1=p(x)\cdot q(x).

Ekkor minden 1\lei\len esetén p(ai).q(ai)=-1. Mivel p(ai) és q(ai) egész számok, ez azt jelenti, hogy közülük az egyik 1-gyel, a másik pedig -1-gyel egyenlő. Mindenképpen igaz tehát, hogy p(ai)+q(ai)=0. Mivel p és q foka is legfeljebb n-1, p+q olyan legfeljebb (n-1)-edfokú polinom, amelynek van n darab különböző gyöke. Ez csak úgy lehet, hogy p+q=0, vagyis q=-p, f=-p2. Ez azonban nem lehetséges, hiszen f főegyütthatója 1, a -p2 polinomé pedig nyilván negatív.


Statistics:

42 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csizmadia Luca, Csuka Barna, Éles András, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Kispéter Tamás, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Réti Dávid, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston.
4 points:Kovács 125 András, Nagy 111 Miklós.
3 points:3 students.
2 points:9 students.
1 point:8 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley