KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4111. Let n be a positive integer, and let a1,a2,...,an be pairwise different integers. Prove that the polynomial (x-a_1)(x-a_2) \ldots (x-a_n)-1 cannot be expressed as a product of two polynomials of integer coefficients whose degrees are at least one.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben léteznek olyan p,q legalább elsőfokú egész együtthatós polinomok, melyekre

f(x)=(x-a_1)(x-a_2) \ldots (x-a_n)-1=p(x)\cdot q(x).

Ekkor minden 1\lei\len esetén p(ai).q(ai)=-1. Mivel p(ai) és q(ai) egész számok, ez azt jelenti, hogy közülük az egyik 1-gyel, a másik pedig -1-gyel egyenlő. Mindenképpen igaz tehát, hogy p(ai)+q(ai)=0. Mivel p és q foka is legfeljebb n-1, p+q olyan legfeljebb (n-1)-edfokú polinom, amelynek van n darab különböző gyöke. Ez csak úgy lehet, hogy p+q=0, vagyis q=-p, f=-p2. Ez azonban nem lehetséges, hiszen f főegyütthatója 1, a -p2 polinomé pedig nyilván negatív.


Statistics on problem B. 4111.
42 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csizmadia Luca, Csuka Barna, Éles András, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Kispéter Tamás, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Réti Dávid, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston.
4 points:Kovács 125 András, Nagy 111 Miklós.
3 points:3 students.
2 points:9 students.
1 point:8 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program