Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4115. (October 2008)

B. 4115. For what positive integers k does 1 occur as a term of the sequence (an), given that a1=k and a_{n+1}=\frac{a_n}{2} if an is even, and an+1=an+5 if an is odd?

(5 pont)

Deadline expired on November 17, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A képzési szabály szerint a sorozat minden eleme pozitív egész szám, és vagy minden elem osztható 5-tel, vagy egyik sem. Így ha k osztható 5-tel, akkor a sorozat elemei között az 1 nem fordulhat elő. Megmutatjuk, hogy minden más esetben viszont előfordul. Tegyük fel tehát, hogy a sorozat egyik eleme sem osztható 5-tel. Ha an páros, akkor an+1=an/2<an, ha pedig páratlan, akkor an+2=(an+5)/2<an, feltéve, hogy an>5. Mivel an=5 most nem lehet, ez azt mutatja, hogy a sorozat minden 4-nél nagyobb eleme után található a sorozatban egy nála kisebb elem. Ez pedig azt jelenti, hogy előbb vagy utóbb a sorozatban megjelenik egy olyan an elem, amelyre an\le4. Ha an=1, akkor készen vagyunk, ha an=2, akkor an+1=1, ha an=4, akkor an+2=1, ha pedig an=3, akkor an+4=1.


Statistics:

160 students sent a solution.
5 points:78 students.
4 points:25 students.
3 points:12 students.
2 points:8 students.
1 point:22 students.
0 point:15 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2008