KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4117. Three lines passing through a point P are cut by two other lines at the points A, B, C and A', B', C', respectively. Prove that \frac{AA'}{A'P}\overrightarrow{BC}
+\frac{BB'}{B'P}\overrightarrow{CA} +\frac{CC'}{C'P}\overrightarrow{AB}=\mathbf{0}, where the ratios are considered directed.

(5 points)

Deadline expired on 17 November 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Jelölje a három egyenest értelemszerűen a,b,c. A jelölést ciklikusan megváltoztatva a baloldali kifejezés nem változik, a körüljárási irányt megfordítva pedig ellentettjére változik. Ezért nyugodtan feltehetjük, hogy az A,B,C pontok az ábrán látható módon helyezkednek el. Azt is feltehetjük, hogy a PA,PB,PC szakaszok hosszának előjele pozitív. Az APB,APC,BPC szögeket jelölje rendre \gamma,\beta,\alpha, az CAP szöget pedig \delta.

Előjelesen számolva AA'+A'P=AP, BB'+B'P=BP és CC'+C'P=CP. Ezért mindkét oldalhoz a \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+
\overrightarrow{AB}=\mathbf{0} vektort hozzáadva a bizonyítandó állítást

\frac{PA}{PA'}\overrightarrow{BC} +\frac{PB}{PB'}\overrightarrow{CA}
+\frac{PC}{PC'}\overrightarrow{AB}=\mathbf{0}

alakra hozhatjuk. A PAB és PAC háromszögekre a szinusz tételt felírva a sin \gamma/sin \delta=AB/PB, sin \beta/sin \delta=AC/PC összefüggéseket kapjuk, ahonnan

\frac{\sin\beta}{PB\cdot AC}=\frac{\sin\gamma}{PC\cdot AB}.

Ugyanezt a PBC és PAC háromszögekre elvégezve pedig

\frac{\sin\beta}{PB\cdot AC}=\frac{\sin\alpha}{PA\cdot BC}

adódik. Figyelembe véve, hogy az \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA} vektorok egy egyenesre esnek, de az utóbbi iránya ellentétes az első kettőével, láthatjuk, hogy igazából a

\frac{\sin\alpha}{PA'}-\frac{\sin\beta}{PB'}+\frac{\sin\gamma}{PC'}=0

állítást kellene igazolni.

Tegyük fel először, hogy az A',B',C' pontok az A,B,C pontokhoz hasonlóan helyezkednek el, vagyis PA', PB' és PC' is pozitív. A nevezőkkel felszorozva, a kapott

PB'.PC'.sin \alpha-PA'.PC'.sin \beta+PA'.PB'.sin \gamma=0

állítás nyilván igaz, hiszen azt fejezi ki, hogy a PAC háromszög területe megegyezik a PAB és PBC háromszögek területének összegével. Ugyanez a helyzet akkor is, ha PA', PB' és PC' is negatív.

Tegyük fel most, hogy a második egyenes a három egyenest b,c,a sorrendben metszi úgy, hogy PA' negatív, PB' és PC' pedig pozitív. Ekkor a B'PC' szög továbbra is \alpha, a B'PA', illetve C'PA' szög pedig 180o-\gamma, illetve 180o-\beta lesz. A már igazolt állítást alkalmazhatjuk oly módon, hogy az A' pont szerepét B', a B' pontét C', a C' pontét pedig A' veszi át.

Így azt kapjuk, hogy

\frac{\sin(180^\circ -\beta)}{PB'}-\frac{\sin(180^\circ-\gamma)}{PC'}+
\frac{\sin\alpha}{|PA'|}=0,

ez pedig ekvivalens a bizonyítandó állítással, hiszen sin x=sin (180o-x) és |PA'|=-PA'. A fennmaradó esetek is hasonló gondolattal könnyen elintézhetők.


Statistics on problem B. 4117.
27 students sent a solution.
5 points:Baranyai Zoltán, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Böőr Katalin, Csere Kálmán, Énekes Péter, Fekete Dorottya, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Perjési Gábor, Ratku Antal, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Varga 171 László, Weisz Ágoston.
4 points:Bóra Eszter, Cséke Balázs, Éles András, Horváth Dániel, Keresztfalvi Tibor, Nagy 648 Donát.
3 points:1 student.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley