KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4118. (October 2008)

B. 4118. Is it possible to obtain a closed disc as a union of two disjoint and congruent point sets? (A closed disc includes the points of the circumference of the circle, too.)

(5 pont)

Deadline expired on November 17, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A kérdésre a válasz nemleges, amit indirekt fogunk bizonyítani. Tegyük fel, hogy a K körlap előáll az egymáshoz diszjunkt A és B halmazok egyesítéseként, \varphi pedig a síknak olyan egybevágósága, amely A-t B-be viszi. A \varphi leképezés inverzét jelölje \psi, ez tehát a síknak olyan egybevágósága, amely B-t A-ba viszi. Előrebocsátjuk, hogy \varphi a K halmaz egyetlen pontját sem hagyhatja helyben, hiszen egy olyan pont szükségképpen benne lenne A-ban vagy B-ben, de akkor mindkét halmazban benne lenne. Azt fogjuk megmutatni, hogy létezik K-nak olyan p pontja, amelyre mind \varphi(p), mind \psi(p) a K körön kívül helyezkedik el. Mivel ekkor p sem az A, sem a B halmazhoz nem tartozhat, ellentmondásra jutunk.

Tegyük fel először, hogy \varphi irányítástartó. Minthogy helybenhagyás nyilván nem lehet, vagy egy nemnulla v vektorral történő eltolásról, vagy egy nemnulla szöggel történő elforgatásról van szó. Az első esetben legyen p a kör v-re merőleges átmérőjének egyik végpontja. Ha p\inA, akkor p+v=\varphi(p)\inB a K körön kívül esik, ami lehetetlen, p\inB esetén pedig p-v=\psi(p)\inA helyezkedne el a körön kívül. A másik esetben a forgatás o középpontja K-n kívül helyezkedik el, ekkor legyen p a kör o-tól legtávolabb eső pontja. Mind \varphi(p), mind \psi(p) a körön kívül esik, így megintcsak ellentmondásra jutunk.

Tegyük fel végül, hogy \varphi nem irányítástartó, ekkor vagy egy tükrözésről, vagy egy nemnulla v vektorral párhuzamos csúsztatva tükrözésről van szó. Az első esetben a \varphi=\psi tükrözés tengelyének nem lehet közös pontja K-val, amiért is K bármely p pontja rendelkezik a fenti tulajdonsággal, a második esetben pedig válasszuk p-t a K körlap olyan pontjának, amely a csúsztatva tükrözés tengelyétől lehető legmesszebb esik.


Statistics:

74 students sent a solution.
5 points:Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Kiss 902 Melinda Flóra, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Varga 777 Ádám, Wang Daqian.
4 points:Kunos Vid, Lelkes Ádám, Perjési Gábor, Weisz Ágoston.
3 points:7 students.
1 point:3 students.
0 point:45 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley