KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4120. (October 2008)

B. 4120. Define a leaf as a figure obtained by the intersection of a finite number of isometric closed discs, and a side of a leaf as the intersection of the leaf with the circumference of any circle out of the ones forming the leaf. Prove that the sides of a leaf are connected.

(4 pont)

Deadline expired on 17 November 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Feltehetjük, hogy a levelet csupa különböző körlap definiálja. Mivel mind az üres halmaz, mind az egypontú halmazok összefüggők, elég csak olyan levelekkel foglalkoznunk, melyeknek legalább két pontjuk van. Azt is feltehetjük, hogy a levelet definiáló minden egyes körlap határának a levéllel legalább két közös pontja van. Ezek után nevezzük a levelet k-levélnek, ha k oldala van, vagyis pontosan k körlap definiálja az előbbi feltevéseknek megfelelő módon. Itt tehát k pozitív egész, és k=1 esetén az állítás nyilvánvaló.

Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a körlapok sugara egységnyi. Ha k=2, akkor a levél mindkét oldala \pi-nél rövidebb körív, tehát összeföggő. Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy k\ge2 esetén bármely k-levél oldalai \pi-nél rövidebb körívek. Tegyük fel, hogy valamely k-ra az állítást már beláttuk, és tekintsünk egy tetszőleges L (k+1)-levelet. Tekintsük L-nek egy K definiáló körlaphoz tartozó e oldalát. Legyen K' L-nek egy másik definiáló körlapja. Ennek elhagyásával egy L-et tartalmazó L' k-levelet kapunk. Ennek K-hoz tartozó e' oldala az indukciós feltevés értelmében egy, az e oldalt tartalmazó, \pi-nél rövidebb körív. Az e oldalt úgy kapjuk, hogy az e' körívet elmetsszük az ugyanolyan sugarú K' körlappal. Ezért az e oldal is egy \pi-nél rövidebb körív kell legyen, ahogyan azt bizonyítani kívántuk.


Statistics:

25 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Kovács 999 Noémi, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Perjési Gábor.
3 points:Gévay Gábor.
2 points:1 student.
0 point:16 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley