A B. 4120. feladat (2008. október) |
B. 4120. A véges sok egybevágó zárt körlap metszeteként előálló alakzatokat nevezzük levélnek, ezeknek valamely definiáló körlap határával vett metszetét a levél oldalának. Bizonyítsuk be, hogy a levelek oldalai összefüggők.
(4 pont)
A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.
Megoldás: Feltehetjük, hogy a levelet csupa különböző körlap definiálja. Mivel mind az üres halmaz, mind az egypontú halmazok összefüggők, elég csak olyan levelekkel foglalkoznunk, melyeknek legalább két pontjuk van. Azt is feltehetjük, hogy a levelet definiáló minden egyes körlap határának a levéllel legalább két közös pontja van. Ezek után nevezzük a levelet k-levélnek, ha k oldala van, vagyis pontosan k körlap definiálja az előbbi feltevéseknek megfelelő módon. Itt tehát k pozitív egész, és k=1 esetén az állítás nyilvánvaló.
Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a körlapok sugara egységnyi. Ha k=2, akkor a levél mindkét oldala -nél rövidebb körív, tehát összeföggő. Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy k2 esetén bármely k-levél oldalai -nél rövidebb körívek. Tegyük fel, hogy valamely k-ra az állítást már beláttuk, és tekintsünk egy tetszőleges L (k+1)-levelet. Tekintsük L-nek egy K definiáló körlaphoz tartozó e oldalát. Legyen K' L-nek egy másik definiáló körlapja. Ennek elhagyásával egy L-et tartalmazó L' k-levelet kapunk. Ennek K-hoz tartozó e' oldala az indukciós feltevés értelmében egy, az e oldalt tartalmazó, -nél rövidebb körív. Az e oldalt úgy kapjuk, hogy az e' körívet elmetsszük az ugyanolyan sugarú K' körlappal. Ezért az e oldal is egy -nél rövidebb körív kell legyen, ahogyan azt bizonyítani kívántuk.
Statisztika:
25 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Kovács 999 Noémi, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Perjési Gábor. 3 pontot kapott: Gévay Gábor. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 16 versenyző.
A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai