B. 4121. Cards are drawn one by one from a deck of French cards until the hand contains a poker. Given that the first card drawn is an ace, what is the probability that the process terminates with an ace poker?

Suggested by P. Maga

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Jelölje K_n azt a 4n lapból álló kártyacsomagot, amelyben a lapok 1-től n-ig vannak számozva, és mindegyik fajta lapból 4 darab van. Ebből a csomagból húzzuk addig a lapokat egyesével, amíg 4 egyforma lap nem lesz a kezünkben (ez felel meg a pókernek). Legyen p_n annak a valószínűsége, hogy ha az első kihúzott lap 1-es, akkor 1-es pókernél álltunk meg. A feladat p₁₃ meghatározása. Játsszuk el ugyanezt egy olyan K_n' csomaggal is, amely úgy keletkezik, hogy K_n-ből egy 1-estől különböző lapot elvesztünk. Könnyű meggondolni, hogy ha a megfelelő valószínűséget p_n'-vel jelöljük, akkor n2 esetén p_n'=p_n-1, függetlenül attól, hogy melyik 1-estől különböző lapot vesztettük el. Természetesen a kártyalapok összes lehetséges sorrendjét ugyanolyan valószínűnek képzeljük el.

Nyilván p₁=1. Megmutatjuk, hogy minden n2 esetén

Valóban, ha az elsőnek kihúzott lap 1-es, akkor esetek 3/(4n-1) részében 1-es lesz a legalsó lap, és ekkor biztosan nem 1-es pókernél fogunk megállni, viszont ha 2in, akkor az esetek 4/(4n-1) részében lesz éppen i a legalsó lap, és ekkor ezt a lapot `elvesztettnek' képzelve látszik, hogy pont p_n' annak a valószínűsége, hogy 1-es pókernél állunk meg, vagyis

Ezért a keresett valószínűség

Ez majdnem kétszer akkora, mint annak a valószínűsége, hogy mondjuk 2-es pókernél állunk meg (0,072).

Statistics on problem B. 4121. 27 students sent a solution. 5 points: Bálint Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Fonyó Dávid, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Varga 171 László. 2 points: 4 students. 0 point: 14 students.