KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4121. Cards are drawn one by one from a deck of French cards until the hand contains a poker. Given that the first card drawn is an ace, what is the probability that the process terminates with an ace poker?

Suggested by P. Maga

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Jelölje Kn azt a 4n lapból álló kártyacsomagot, amelyben a lapok 1-től n-ig vannak számozva, és mindegyik fajta lapból 4 darab van. Ebből a csomagból húzzuk addig a lapokat egyesével, amíg 4 egyforma lap nem lesz a kezünkben (ez felel meg a pókernek). Legyen pn annak a valószínűsége, hogy ha az első kihúzott lap 1-es, akkor 1-es pókernél álltunk meg. A feladat p13 meghatározása. Játsszuk el ugyanezt egy olyan Kn' csomaggal is, amely úgy keletkezik, hogy Kn-ből egy 1-estől különböző lapot elvesztünk. Könnyű meggondolni, hogy ha a megfelelő valószínűséget pn'-vel jelöljük, akkor n\ge2 esetén pn'=pn-1, függetlenül attól, hogy melyik 1-estől különböző lapot vesztettük el. Természetesen a kártyalapok összes lehetséges sorrendjét ugyanolyan valószínűnek képzeljük el.

Nyilván p1=1. Megmutatjuk, hogy minden n\ge2 esetén

p_n={4n-4\over 4n-1}\cdot p_{n-1}.

Valóban, ha az elsőnek kihúzott lap 1-es, akkor esetek 3/(4n-1) részében 1-es lesz a legalsó lap, és ekkor biztosan nem 1-es pókernél fogunk megállni, viszont ha 2\lei\len, akkor az esetek 4/(4n-1) részében lesz éppen i a legalsó lap, és ekkor ezt a lapot `elvesztettnek' képzelve látszik, hogy pont pn' annak a valószínűsége, hogy 1-es pókernél állunk meg, vagyis

p_n=(n-1)\cdot {4\over 4n-1}\cdot p_n'={4n-4\over 4n-1}\cdot p_{n-1}.

Ezért a keresett valószínűség

p_{13}={48\over 51}\cdot{44\over 47}\cdot{40\over 43}\cdot{36\over 39}\cdot
{32\over 35}\cdot{28\over 31}\cdot{24\over 27}\cdot {20\over 23}\cdot
{16\over 19}\cdot{12\over 15}\cdot{8\over 11}\cdot{4\over 7}\approx0,135.

Ez majdnem kétszer akkora, mint annak a valószínűsége, hogy mondjuk 2-es pókernél állunk meg (\approx0,072).


Statistics on problem B. 4121.
28 students sent a solution.
5 points:Bálint Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Fonyó Dávid, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Varga 171 László.
2 points:4 students.
0 point:14 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2008

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program