A B. 4121. feladat (2008. október)

B. 4121. Egy csomag francia kártyából addig húzzuk a lapokat egyesével, amíg póker nem lesz a kezünkben. Az első kihúzott lap ász. Mi annak a valószínűsége, hogy ász pókernél állunk meg?

Javasolta: Maga Péter

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.

Megoldás: Jelölje K_n azt a 4n lapból álló kártyacsomagot, amelyben a lapok 1-től n-ig vannak számozva, és mindegyik fajta lapból 4 darab van. Ebből a csomagból húzzuk addig a lapokat egyesével, amíg 4 egyforma lap nem lesz a kezünkben (ez felel meg a pókernek). Legyen p_n annak a valószínűsége, hogy ha az első kihúzott lap 1-es, akkor 1-es pókernél álltunk meg. A feladat p₁₃ meghatározása. Játsszuk el ugyanezt egy olyan K_n' csomaggal is, amely úgy keletkezik, hogy K_n-ből egy 1-estől különböző lapot elvesztünk. Könnyű meggondolni, hogy ha a megfelelő valószínűséget p_n'-vel jelöljük, akkor n $\ge$ 2 esetén p_n'=p_n-1, függetlenül attól, hogy melyik 1-estől különböző lapot vesztettük el. Természetesen a kártyalapok összes lehetséges sorrendjét ugyanolyan valószínűnek képzeljük el.

Nyilván p₁=1. Megmutatjuk, hogy minden n $\ge$ 2 esetén

$p_n={4n-4\over 4n-1}\cdot p_{n-1}.$

Valóban, ha az elsőnek kihúzott lap 1-es, akkor esetek 3/(4n-1) részében 1-es lesz a legalsó lap, és ekkor biztosan nem 1-es pókernél fogunk megállni, viszont ha 2 $\le$ i $\le$ n, akkor az esetek 4/(4n-1) részében lesz éppen i a legalsó lap, és ekkor ezt a lapot `elvesztettnek' képzelve látszik, hogy pont p_n' annak a valószínűsége, hogy 1-es pókernél állunk meg, vagyis

$p_n=(n-1)\cdot {4\over 4n-1}\cdot p_n'={4n-4\over 4n-1}\cdot p_{n-1}.$

Ezért a keresett valószínűség

$p_{13}={48\over 51}\cdot{44\over 47}\cdot{40\over 43}\cdot{36\over 39}\cdot {32\over 35}\cdot{28\over 31}\cdot{24\over 27}\cdot {20\over 23}\cdot {16\over 19}\cdot{12\over 15}\cdot{8\over 11}\cdot{4\over 7}\approx0,135.$

Ez majdnem kétszer akkora, mint annak a valószínűsége, hogy mondjuk 2-es pókernél állunk meg ( $\approx$ 0,072).

Statisztika:

27 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Bálint Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Fonyó Dávid, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Varga 171 László.

2 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 14 versenyző.

A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai

27 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bálint Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Fonyó Dávid, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Varga 171 László.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?