Problem B. 4122. (November 2008)

B. 4122. 7 fields of a 5×5 chessboard are red, and 18 fields are blue. Two of the red fields lie along the edge of the board. Line segments separating two red fields are also coloured red, and line segments separating blue fields are coloured blue. All the rest of the lines, including the edges of the board, are black. There are 35 black line segments altogether. How many red line segments are there?

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A 35 fekete vonalból 20 esik a tábla szélére, 15 a belsejébe. Az utóbbiak közül mindegyiknek egyik oldalán piros, másik oldalán kék mező van. A 7 piros mezőnek összesen 28 éle van, melyek mindegyike vagy piros, vagy fekete. Mivel a tábla szélén két piros mező van, a tábla szélén lévő 20 fekete vonalból legfeljebb 4 lehet piros mezőnek éle. A további 15 fekete vonallal együtt így a szóban forgó 28 él közül legfeljebb 19 lesz fekete, vagyis legalább 9 piros. Mivel minden piros szakasz pontosan 2 piros mezőnek éle, a piros szakaszok száma legalább 5.

A 18 kék mezőnek összesen 72 éle van, melyek mindegyike vagy kék, vagy fekete. A tábla szélén lévő 20 fekete vonalból legalább 2 piros mezőnek éle, tehát legfeljebb 18 tartozhat kék mezőhöz. A további 15 fekete vonallal együtt ez legfeljebb 33 fekete él, vagyis a kék élek száma legalább 39. Mivel minden kék szakasz pontosan 2 kék mezőnek éle, a kék szakaszok száma legalább 20.

Minthogy összesen 60 szakasz van, a piros és kék szakaszok számának összege 25. Ez pedig azt jelenti, hogy pontosan 5 piros és 20 kék szakasz keletkezik. Megjegyezzük, hogy ilyen módon színezett tábla valóban létezik.

Statistics:

124 students sent a solution.
4 points:	86 students.
3 points:	7 students.
2 points:	13 students.
1 point:	6 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008