Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4123. (November 2008)

B. 4123. Find the locus of points on the plane such that the sum of squares of their distances from two given points is constant.

(3 pont)

Deadline expired on December 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a két adott pont F1 és F2. Az F1F2 szakasz felezőpontját jelölje O, a szakasz hossza pedig legyen 2f. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert, melyben F1 koordinátái (-f,0), az F2 ponté pedig (f,0), ekkor az O pont éppen az origóba esik. A P(x,y) pont pontosan akkor tartozik a mértani helyhez, ha

PF12+PF22=(x+f)2+y2+(x-f)2+y2=2(x2+y2+f2)

a megadott c állandóval egyenlő. Innen leolvasható, hogy c<2f2 esetén a mértani hely üres, c=2f2 esetén a mértani hely egyedül az O pontból áll, c>2f2 esetén pedig az O középpontú \sqrt{c/2-f^2} sugarú körvonallal egyezik meg.


Statistics:

150 students sent a solution.
3 points:73 students.
2 points:18 students.
1 point:2 students.
0 point:52 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008