Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4124. (November 2008)

B. 4124. We determine the square root of each 4-digit number, and if the result is not an integer, we round it to the nearest integer. Decide whether we have rounded up or down more numbers.

(3 pont)

Deadline expired on December 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy egy k szám négyzetgyöke n és n+1 közé esik, ahol n pozitív egész. Ez azt jelenti, hogy

n2+1\lek\le(n+1)2-1=n2+2n.

Minthogy n2+n<(n+1/2)2=n2+n+1/4<n2+n+1, a \sqrt{k} szám értékét n2+1\lek\len2+n esetén lefelé, n2+n+1\lek\len2+2n esetén pedig felfelé kell kerekíteni, vagyis lefelé és felfelé is pontosan n esetben kerekítünk.

Ezért 322=1024<k<10000=1002 esetén pontosan ugyanannyiszor fogunk felfelé kerekíteni, mint lefelé. Ha viszont 31,52=992,25<1000\lek<1024=322, akkor \sqrt{k} értékét felfelé kell kerekíteni. Ebből látható, hogy pontosan 24-gyel több alkalommal kerekítettünk felfelé, mint lefelé.


Statistics:

160 students sent a solution.
3 points:97 students.
2 points:6 students.
1 point:9 students.
0 point:43 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008