Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4126. (November 2008)

B. 4126. From the endpoints of a chord AB of a circle, drop perpendiculars onto a tangent drawn at a point P of the circle, different from A and B. Drop a perpendicular from P onto the chord AB. Prove that the perpendicular dropped onto the chord is the geometric mean of the perpendiculars dropped onto the tangent.

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A merőlegesek talppontját jelölje rendre C,D és M. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy M az AB félegyenes belső pontja. Ha M=B, vagyis PM=PB, akkor ABP\sphericalangle=90^\circ, tehát AP a kör átmérője, és ezért P=C, AP=AC is igaz. Egyébként pedig ha M az AB szakasz pontja, akkor PAB\sphericalangle és PBA\sphericalangle is hegyesszög, vagyis P a C és D pontok között helyezkedik el, ellenkező esetben pedig PBA\sphericalangle tompaszög lesz, és ennek megfelelően a C pont esik P és D közé az ábrának megfeleleően. Mindkét esetben leolvasható a kerületi szögek tételéből, hogy APC\sphericalangle=
PBM\sphericalangle, vagyis az APC és PBM derékszögű háromszögek hasonlók. Ezért AC/PM=AP/PB ezekben az esetekben is teljesül.

Hasonlóan kapjuk a BPD és PAM háromszögek hasonlóságából, hogy BD/PM=BP/PA. Ezért

\frac{AC}{PM}=\frac{AP}{BP}=\frac{PM}{BD},

vagyis valóban AC.BD=PM2, PM=\sqrt{AC\cdot BD}.


Statistics:

101 students sent a solution.
4 points:67 students.
3 points:18 students.
2 points:4 students.
1 point:8 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008