KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4126. From the endpoints of a chord AB of a circle, drop perpendiculars onto a tangent drawn at a point P of the circle, different from A and B. Drop a perpendicular from P onto the chord AB. Prove that the perpendicular dropped onto the chord is the geometric mean of the perpendiculars dropped onto the tangent.

(4 points)

Deadline expired on 15 December 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: A merőlegesek talppontját jelölje rendre C,D és M. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy M az AB félegyenes belső pontja. Ha M=B, vagyis PM=PB, akkor ABP\sphericalangle=90^\circ, tehát AP a kör átmérője, és ezért P=C, AP=AC is igaz. Egyébként pedig ha M az AB szakasz pontja, akkor PAB\sphericalangle és PBA\sphericalangle is hegyesszög, vagyis P a C és D pontok között helyezkedik el, ellenkező esetben pedig PBA\sphericalangle tompaszög lesz, és ennek megfelelően a C pont esik P és D közé az ábrának megfeleleően. Mindkét esetben leolvasható a kerületi szögek tételéből, hogy APC\sphericalangle=
PBM\sphericalangle, vagyis az APC és PBM derékszögű háromszögek hasonlók. Ezért AC/PM=AP/PB ezekben az esetekben is teljesül.

Hasonlóan kapjuk a BPD és PAM háromszögek hasonlóságából, hogy BD/PM=BP/PA. Ezért

\frac{AC}{PM}=\frac{AP}{BP}=\frac{PM}{BD},

vagyis valóban AC.BD=PM2, PM=\sqrt{AC\cdot BD}.


Statistics on problem B. 4126.
101 students sent a solution.
4 points:67 students.
3 points:18 students.
2 points:4 students.
1 point:8 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley